Определим параметры орбиты астероида. Изначально неизвестно, является он внутренним или внешним, поэтому проверим оба варианта.

Расстояние между Землей и астероидом максимально, если они находятся на одной прямой с Солнцем по разные стороны от него. Если a — радиус орбиты астероида, а $a_{\oplus}$ — радиус орбиты Земли, то максимальное расстояние $r_{\max} = a_{\oplus} + a$ .

Минимальное расстояние достигается, когда астероид и Земля также находятся на одной линии с Солнцем но по одну сторону от него: $r_{\min} = |a_{\oplus} - a|$ . Здесь мы записали модуль, поскольку есть два варианта расположения астероида: между Землей и Солнцем или по другую сторону относительно Земли. Тогда

$$\frac{r_{\text{max}}}{r_{\text{min}}} = K = \frac{a_{\oplus} + a}{|a - a_{\oplus}|}.$$

Если астероид внешний, то

$$K = \frac{a_{\oplus} + a_{\text{out}}}{a_{\text{out}} - a_{\oplus}} \quad \Rightarrow \quad a_{\text{out}} = a_{\oplus} \frac{K+1}{K-1} = \frac{4.5}{2.5} a_{\oplus} = \frac{9}{5} a_{\oplus} \approx 1.8 \text{ a. e.}$$

Если астероид внутренний, то

$$K = \frac{a_{\oplus} + a_{\text{in}}}{a_{\oplus} - a_{\text{in}}} \quad \Rightarrow \quad a_{\text{in}} = a_{\oplus} \frac{K - 1}{K + 1} = \frac{5}{9} a_{\oplus} \approx 0.56 \, \text{a. e.}$$

Расстояние астероида от Солнца постоянно, а расстояние от Земли меняется непрерывно. Рассмотрим случай внешнего астероида. Перейдем в систему отсчета, в которой покоится отрезок Солнце — Земля и проведем окружность радиуса $a_{\text{out}}$ с центром в Земле. На том участке орбиты, которая попала внутрь этой окружности, астероид располагается ближе к Земле, чем к Солнцу (см. рисунок). Когда же астероид находится вне этой окружности, он располагается ближе к Солнцу, чем к Земле.

В выбранной системе отсчета астероид двигается по круговой орбите радиуса $a_{\rm out}$ с синодическим периодом $S_{\rm out}$ . Поскольку сидерический период астероида равен $T_{\rm out}=a_{\rm out}^{3/2}\approx 2.41\,{\rm года},$ то его синодический период равен

$$\frac{1}{S_{\text{out}}} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_{\text{out}}} \quad \Rightarrow \quad S_{\text{out}} = \frac{T_{\text{out}}T_0}{T_{\text{out}} - T_0} \approx 1.71 \,\text{года}.$$

Искомое время так же соотносится с синодическим периодом, как длина дуги орбиты астероида, попавшая внутрь очерченной вокруг Земли окружности, ко всей длине орбиты:

$$\Delta t = \frac{2\alpha}{360^{\circ}} \cdot S_{\text{out}}.$$

Определим угол $\alpha$ . Рассмотрим треугольник Земля — Солнце — T, где T — точка удаленная на расстояние $a_{\text{out}}$ от Земли и Солнца. Этот треугольник равнобедренный. Опустим высоту (она же медиана) из точки T на сторону Земля — Солнце. Получим прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами. Тогда

$$\cos \alpha = \frac{a_{\oplus}/2}{a_{\text{out}}} = \frac{0.5}{1.8} \approx 2.78 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 73.9^{\circ}.$$

В итоге получаем искомое время

$$\Delta t_{\rm out} = \frac{2 \cdot 73.9^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 1.71\,$$ года $\approx 0.7\,$ года.

Решение для случая астероида на внутренней орбите производится по такой же схеме (см. рисунок). Такой астероид движется с сидерическим периодом $T_{\rm in}\approx 0.41\,{\rm годa}$ , синодическим периодом $S_{\rm in}\approx 0.71\,{\rm годa}$ . Угол $\beta=25.8^\circ$ , откуда промежуток времени

$$\Delta t_{\rm in} = \frac{2 \cdot 25.8^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 0.71\,$$ года $\approx 0.1\,$ года.

Замечание. Использование округленного значения $a_{\rm in}$ вместо точного приводит к значению $\beta=26.8^{\circ}$ , что никак не влияет на конечный результат.

Стоит отметить, что при обратном вращении астероида вокруг Солнца его синодический период меньше, чем для прямого вращения, а значит, на тех же орбитах он будет проводить меньше времени непрерывно ближе к Земле, чем к Солнцу.

Астероид может провести не более 0.7 года ближе к Земле, чем к Солнцу.