Для того, чтобы азотно-кислородная атмосфера на планете существовала в течение длительного времени, необходимо, чтобы средняя тепловая скорость молекул была меньше второй космической скорости у поверхности (на самом деле, это ограничение гораздо строже, тепловая скорость должна быть во много раз меньше). Данное условие можно записать как

$$\sqrt{\frac{3kT}{m}} < \sqrt{\frac{2GM}{R}},$$

где T — заданная температура атмосферы, m — масса молекулы (примем ее равной 30 массам протона или $5\cdot 10^{-26}$ кг), M и R — масса и радиус планеты. Из этого вытекает соотношение между массой и радиусом:

$$M > \frac{3kT}{2Gm} \cdot R$$ .

Данное неравенство ограничивает область обитаемых планет на диаграмме "радиус-масса" снизу прямой, проходящей через начало координат. Другое ограничение получается из требования на величину ускорения свободного падения:

$$g_1 < \frac{GM}{R^2} < g_2; \quad \frac{g_1}{G} \cdot R^2 < M < \frac{g_2}{G} \cdot R^2.$$

Здесь $g_1$ и $g_2$ — заданные минимальное и максимальное ускорения силы тяжести на поверхности планеты. Условие ограничивает область обитаемых планет двумя параболами, также проходящими через центр координат. В результате, мы получаем картину, изображенную на рисунке.

Для полного задания картины нам нужно определить координаты точек $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ , то есть найти радиусы и массы планет в этих предельных случаях. Для точки $\mathbf{A}$ имеем:

$$\frac{3kT}{2Gm} \cdot R = \frac{g_2}{G} \cdot R^2; \quad R = \frac{3kT}{2mg_2}; \quad M = \frac{9k^2T^2}{4Gg_2m^2}.$$

Численная подстановка дает значение радиуса 7.5 км и массы $1.3 \cdot 10^{19}$ кг. Для точки В имеем аналогичные выражения

$$R = \frac{3kT}{2mg_1}; \quad M = \frac{9k^2T^2}{4Gg_1m^2}$$

и втрое большие величины радиуса и массы: около 22.5 км и $3.8\cdot10^{19}$ кг. Мы видим, что данные точки соответствуют очень маленьким, но при этом весьма плотным планетам (плотность порядка $10^6$ кг/м $^3$ ). Более типичные планеты, похожие на Землю, находятся далеко в верхней части участка, закрашенного на рисунке серым цветом.

Метеор вблизи Веги (А.М. Татарников)

Класс: 11 Задача: 3