$$h_{\rm H} = -90^{\circ} + \varphi + \delta,$$

где $\phi$ — широта места, $\delta$ — склонение звезды. Высота верхней кульминации на юге и на севере составляет

$$h_{\text{B1}} = 90^{\circ} - \varphi + \delta,$$

$h_{\text{B2}} = 90^{\circ} + \varphi - \delta,$

причем первая формула справедлива для светил, у которых $\delta < \varphi$ , вторая — для звезд со склонением $\delta \ge \varphi$ . В справедливости этих формул можно убедиться из рисунка. По условию задачи, высота светила в верхней кульминации вдвое больше, чем в нижней. Составим уравнения для широты места для обоих случаев:

$$90^{\circ} - \varphi + \delta = 2 \cdot (-90^{\circ} + \varphi + \delta)$$ , при условии $\delta < \varphi$ , $90^{\circ} + \varphi - \delta = 2 \cdot (-90^{\circ} + \varphi + \delta)$ , при условии $\delta \ge \varphi$ .

Решая эти уравнения, получаем:

$$\delta_1 = 270^{\circ} - 3\phi$$ , при условии $\delta_1 < \phi$ , $\delta_2 = 90^{\circ} - (\phi/3)$ , при условии $\delta_2 \ge \phi$ .

Подставляя значение широты Саранска, в первом случае получаем склонение $+108^{\circ}$ , что не удовлетворяет соответствующему неравенству и вообще не может быть на небесной сфере. А вот вторая формула дает величину склонения $\delta$ , равную $+72^{\circ}$ , что удовлетворяет нужному неравенству. Верхняя кульминация звезд с таким склонением в Саранске происходит на севере на высоте $72^{\circ}$ , нижняя — также на севере, на высоте $36^{\circ}$ над горизонтом.

Рассмотрим второй вопрос задачи для северного полушария Земли (в южном полушарии ответ будет аналогичным с той разницей, что величины склонения $\delta$ и широты $\phi$ отрицательны). Для того, чтобы найти все широты, для которых существует значение $\delta_1$ или $\delta_2$ , решим неравенства:

$$\varphi > 270^{\circ} - 3\varphi,$$

$\varphi \leq 90^{\circ} - (\varphi/3).$

Решением первого неравенства будет $\phi > 67.5^\circ$ , решением второго неравенства $\phi \le 67.5^\circ$ . Получается, что для любых широт на Земле существует значение склонения звезды, при котором высота верхней кульминации будет вдвое превышать высоту нижней кульминации. Формальное решение существует и для случая экватора ( $\delta = \pm 90^\circ$ ) и полюса ( $\delta = 0^\circ$ ). Аналогичные рассуждения для модуля склонения и широты проводятся для южного полушария Земли.

+72^{\circ}