1 Задача:

1

? Галактика NGC 5750 находится на расстоянии 25 Мпк от Земли. На рисунке изображен ее спектр. На Земле проводится фотометрия галактики с двумя светофильтрами — зеленым (область пропускания от 5000 до 5200 ангстрем) и красным (от 6000 до 6300 ангстрем). Определите отношение потоков энергии от галактики, зарегистрированных в "зеленой" и "красной" спектральных областях. Каким стало бы это отношение, если бы галактика в настоящее время располагалась в 50 раз дальше от Земли? Оба светофильтра считать идеальными (100%-пропускание света внутри рабочей полосы и полное блокирование света вне ее). Атмосферным и межгалактическим поглощением пренебречь.

На графике представлены зависимости потока ее излучения $F_{\lambda}$ (мощность на единицу площади) на единицу длины волны — ангстрем. Если мы возьмем светофильтр, вырезающий определенный диапазон длин волн (от $\lambda_1$ до $\lambda_2$ ), то поток излучения от галактики, измеренный с этим светофильтром, составит площадь фигуры под графиком, ограниченной вертикальными прямыми, соответствующими данным длинам волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$ . Для двух светофильтров, описанных в условии задачи, эти прямые показаны на рисунке сплошными линиями.

Однако, если спектральные вариации в пределах данного интервала невелики (если там нет сильных линий поглощения или излучения), то поток излучения может быть выражен простой формулой:

$$J = F \cdot \Delta \lambda$$

где $\Delta\lambda$ — ширина спектрального интервала, а F — среднее значение функции $F_{\lambda}$ на этом интервале (если спектр имеет форму прямой, то F будет равно значению функции $F_{\lambda}$ в середине интервала).

Выделим интервалы, указанные в условии задачи. Резких вариаций функции $F_{\lambda}$ на этих интервалах нет. Определим по графику средние значения этой функции на интервалах:

$$F_{01} = 2.2 \cdot 10^{-15} \text{ spr cm}^{-2} \text{ c}^{-1} \text{ Å}^{-1}; \quad F_{02} = 2.4 \cdot 10^{-15} \text{ spr cm}^{-2} \text{ c}^{-1} \text{ Å}^{-1}.$$

Отношение потоков в двух полосах составит

$$K_0 = \frac{J_{01}}{J_{02}} = \frac{F_{01}\Delta\lambda_{01}}{F_{02}\Delta\lambda_{02}} = 0.6.$$

Галактика, находящаяся от нас на расстоянии $R_0$ (25 Мпк), будет иметь красное смещение:

$$z_0 = \frac{H \cdot R_0}{c} = 0.006.$$

Эта величина мала, и космологические эффекты не будут оказывать заметного влияния на фотометрические характеристики галактики. Но при увеличении расстояния R в 50 раз (до 1.25 Гпк) красное смещение z составит уже весьма заметную величину: 0.3. В то же время, оно остается меньше единицы, что позволяет нам пользоваться формулой, аналогичной написанной выше. Излучение галактики с длиной волны $\lambda_0$ будет регистрироваться на длине волны $\lambda$ :

$$\lambda = \lambda_0 (1 + z).$$

Если мы будем наблюдать эту галактику на Земле с теми же светофильтрами (от 5000 до 5200 и от 6000 до 6300 ангстрем), то мы будем регистрировать ее излучение, испущенное в других спектральных интервалах, длина волн которых будет в (1+z) или в 1.3 раза меньше наблюдаемых. Нетрудно посчитать, что это будут интервалы от 3850 до 4000 и от 4615 до 4845 ангстрем. В обоих случаях ширина интервала $\Delta\lambda$ будет в 1.3 раза меньше соответствующей ширины $\Delta\lambda_0$ .

Проведем соответствующие вертикальные линии на графике и получим характерные значения функции $F_{\lambda}$ :

$$F_{\text{C1}} = 0.9 \cdot 10^{-15} \text{ spr cm}^{-2} \text{ c}^{-1} \text{ Å}^{-1}; \quad F_{\text{C2}} = 2.1 \cdot 10^{-15} \text{ spr cm}^{-2} \text{ c}^{-1} \text{ Å}^{-1}.$$

Величины $F_1$ и $F_2$ , относящиеся к расстоянию R, соответствуют формуле

$$F_{1,2} = F_{C1.2} \left(\frac{R_0}{R_1}\right)^2 \theta(z),$$

где величина $\theta(z)$ немного меньше единицы и зависит от принимаемой космологической модели. Она учитывает, в частности, уменьшение энергии и частоты их регистрации за счет расширения Вселенной. Однако, данный множитель одинаков для всех длин волн. Поэтому

$$K = \frac{J_1}{J_2} = \frac{F_1 \Delta \lambda_1}{F_2 \Delta \lambda_2} = \frac{F_{C1} \Delta \lambda_{01}}{F_{C2} \Delta \lambda_{02}} = 0.3.$$