Изобразим оптическую схему фары. Обозначим мощность лампы через J0 , радиус ее матовой колбы – через r. Световая энергия, попадающая от лампы на отражатель в единицу времени, с достаточной для оценки точностью составляет !

$$J = J_0 \frac{\pi R^2}{4\pi F^2} = J_0 \frac{R^2}{4F^2}.$$

Теоретический тур – 10 класс

Здесь F – расстояние от лампы до отражателя, оно же – фокусное расстояние отражателя. Лампа располагается в фокусе отражателя, и каждая часть лампы создает на выходе параллельный пучок света. За счет того, что лампа имеет конечные размеры, весь выходящий поток света будет иметь вид расходящегося конуса, стороны которого будут образовывать угол с осью, равный угловому радиусу лампы, видимой от отражателя:

$$\rho = r / F.$$

На расстоянии D от фары (существенно большем размеров самой фары) радиус светового пятна составит

$$L = D \rho = D r / F.$$

Поток энергии на единицу площади будет равен

$$j = \frac{J}{\pi L^2} = J_0 \frac{R^2}{4\pi D^2 r^2}.$$

Обратим внимание, что эта величина не зависит от фокусного расстояния. Для того, чтобы фара была заметна невооруженным глазом, поток энергии j должен соответствовать звезде 6m (или быть большим). Определим это значение, сравнив фару с Солнцем (спектральный состав излучения по условию задачи одинаков). Поток энергии от Солнца на Земле равен

$$j_{\rm S} = \frac{J_{\rm S}}{4\pi L_{\rm E}^2} = 1.37 \cdot 10^3 \, \text{Br} / \text{m}^2$$

Здесь JS – светимость Солнца, LE – расстояние от Солнца до Земли. С учетом блеска Солнца (–26.8m) по формуле Погсона получаем значение минимального потока энергии, заметного глазом:

$$j = j_{\rm S} \cdot 10^{0.4 \cdot (-26.8 - 6)} = 10^{-10} \, \text{Br} / \text{m}^2$$

Максимальное расстояние, с которого можно будет увидеть фару, составит

$$D=\frac{R}{r}\sqrt{\frac{J_0}{4\pi\,j}}=$$ 1800 км

Столь большое значение не должно вводить в заблуждение – на Земле включенные фары автомобилей легко видны с больших расстояний, ограниченных, прежде всего, потерями света в фаре и условиями видимости (горизонт, земные объекты и т.д.) и поглощением света в атмосферном воздухе.

1800 км