№ 10.3ПЫЛЕВОЙ ДИСК
Затменная переменная система ε Возничего состоит из звезды 3m и невидимого компонента, окруженного тонким пылевым диском цилиндрической формы (высота цилиндра существенно меньше его радиуса). Звезда удалена от Солнца на 600 пк. C 17 августа 2009 года до 13 мая 2011 года продолжалось затмение оптической звезды диском. На фотографиях (на обороте) показаны изображения звезды в 2008 году (до затмения), 3 ноября и 3 декабря 2009 года. Изображения получены на основе интерферометрических наблюдений на оптической сети телескопов CHARA (США). На картину наложены положения краев пылевого диска. Угловые единицы по координатным осям – миллисекунды дуги (10–3″). Исходя из этой картины, оцените минимальную массу пылевого диска. Считать, что диск состоит из черных пылинок радиусом 1 мкм и плотностью 1 г/см3 , пылинки задерживают свет по законам геометрической оптики.
Решение
По интерферометрическим изображениям мы можем определить видимый диаметр оптического компонента системы звезды δ, он составляет 2.2⋅10–3″. Умножая его на расстояние до звезды (600 пк), получаем ее диаметр d, выраженный в астрономических единицах – 1.3 а.е.
По изображениям 3 ноября и 3 декабря 2009 года мы видим, что диск виден с Земли как эллипс и движется практически вдоль своей большой оси. В реальности диск круглый, и его видимая эллиптическая форма объясняется эффектом проекции на небесную сферу. Сравнивая положения диска на двух фотографиях, получаем величину его перемещения относительно звезды за 1 месяц. Оно составляет примерно 1/3 от видимого диаметра звезды. 3 ноября правый край диска практически совпадает с лимбом звезды. В конце затмения (13 мая 2011 года), эта же точка лимба совпадет с левым краем диска. Следовательно, вся видимая большая ось диска пройдет через данную точку лимба за 18 месяцев, и его длина составляет 6 угловых диаметров звезды. Из этого следует, что пространственный диаметр диска L в 6 раз больше диаметра звезды и составляет около 8 а.е.
Области звезды, закрытые пылевым диском, выглядят существенно потемневшими (или даже совсем черными). Из этого мы можем сделать вывод, что лучи звезды, идущие к нам сквозь пыль, встречаются как минимум с одной пылинкой. Рассмотрим взаимное расположение звезды, пылевого диска и наблюдателя.
Зная, что диск имеет круглую форму и измерив малую ось его изображения на небе l (0.6d или 0.1L, соответствующая пространственная длина составляет 0.8 а.е.), получаем величину угла наклона плоскости диска к лучу зрения:
$$\alpha = \arcsin \frac{t}{L} = 6^{\circ}.$$
Звезда
Диск
К наблюдателю
Практический тур – 10 класс
Обозначим толщину диска через h. Тогда длина пути лучей сквозь диск составит
$$x = \frac{h}{\sin \alpha} = \frac{hL}{l}$$
Если радиус пылинки равен r, то число пылинок на луче зрения будет равно их числу в цилиндрической трубке длиной x и радиусом основания r. Если концентрация пылинок равна n, то данное число составит
$$T = nx \cdot \pi r^2 = \frac{\pi nhLr^2}{I}$$
Как было сказано выше, число T не меньше единицы. Тогда для концентрации справедливо неравенство:
$$n \ge \frac{l}{\pi h L r^2}.$$
Диск имеет радиус (L/2) и толщину h. Общее число пылинок в нем:
$$N = \frac{\pi L^2 h}{4} n \ge \frac{lL}{4r^2}.$$
Интересно, что число в правой части неравенства не зависит от толщины диска и составляет лишь отношение его видимой площади к видимой площади пылинки. Данное неравенство можно было также получить, считая, что видимых площадей всех пылинок должно быть достаточно, чтобы покрыть весь диск по отношению к лучу зрения. Наконец, масса диска не меньше, чем
$$M = \frac{4}{3}\pi\rho r^3 N \ge \frac{\pi\rho lLr}{3}.$$
Минимальная масса равна всего 1.5⋅1020 кг или 2.5⋅10–5 масс Земли. Реальная масса диска на несколько порядков больше, так как он еще менее прозрачен, и на луче зрения оказывается большое число пылинок.
Ответ
Минимальная масса равна всего 1.5⋅1020 кг или 2.5⋅10–5 масс Земли.