№ 9.6КОМЕТА В НЕБЕ ЗЕМЛИ И МАРСА
При наблюдении с Земли Марс располагается в западной квадратуре, а комета — в восточной. С Земли комета имеет звездную величину 7m, а с Марса 8m. Каково расстояние от Солнца и Земли до кометы, если известно, что она видна с обеих планет вблизи линии эклиптики? Орбиты Земли и Марса считать круговыми, лежащими в одной плоскости. Поглощением света в атмосферах планет пренебречь.
По условию задачи, все четыре тела (Солнце, Земля, Марс и комета) фактически лежат в плоскости эклиптики. Изобразим их на рисунке. Марс и комета находятся в противоположных квадратурах, и Земля располагается около линии, соединяющей Марс и комету. Определим расстояние между Землей и Марсом:
Решение
$$d_1 = \sqrt{r_1^2 - r_0^2} = 1.15$$
Здесь $r_0$ и $r_1$ — радиусы орбит Земли и Марса. По условию задачи, с Земли (расстояние $d_2$ ) комета выглядит на $1^{\rm m}$ ярче, чем с Марса (расстояние $d_1+d_2$ ). Соотношение яркостей K равно 2.512, и для расстояний справедливо выражение:
$$\frac{d_1 + d_2}{d_2} = \sqrt{K}.$$
Здесь было учтено, что комета ориентирована одинаково по отношению к наблюдателям на Земле и Марсе. Отсюда
$$d_2 = \frac{d_1}{\sqrt{K} - 1} = 2.0$$
Расстояние кометы от Солнца равно
$$r_2 = \sqrt{r_0^2 + d_2^2} = 2.2$$
Ответ
$r_2 = \sqrt{r_0^2 + d_2^2} = 2.2$