Как видно из рисунка, фаза сферического тела (доля освещенной части диска или освещенной части диаметра, проходящего через середину терминатора) равна !

Теоретический тур – 10 класс

где ϕ – угол с вершиной в центре тела, образованный направлениями на Солнце и Землю (его еще называют фазовым углом). Для него выполняется очевидное соотношение

$$\varphi = \arccos(2F - 1).$$

Изобразим Солнце, Землю и наблюдаемое тело (плоскость рисунка не должна обязательно совпадать с плоскостью эклиптики). Обозначим расстояние между Солнцем и Землей через R. Если фаза тела F меньше 0.5, и фазовый угол ϕ больше 90° (случай 1 на рисунке), то тело должно находиться на малой дуге окружности, описанной около треугольника «Солнце-Земля-тело». Очевидно, что максимально возможное расстояние между Землей и телом L равно R и достигается, если тело находится вблизи Солнца.

В случае 2 (фаза F больше 0.5, фазовый угол ϕ меньше 90°) тело будет находиться на большой дуге окружности. Максимальное расстояние от Земли L будет равно диаметру этой окружности. Из теоремы синусов имеем:

равно диаметру этой окружности. Из теоремы синусов имеем. $$L = \frac{R}{sin\phi} = \frac{R}{2\sqrt{F(1-F)}}.$$