Звезда $-10^{\rm m}$ светит в 5· $10^6$ раз слабее Солнца. Средний угловой радиус Урана есть отношение его пространственного радиуса к расстоянию до Солнца, он равен 1.8", что в 530 раз меньше видимого радиуса Солнца. По закону Стефана-Больцмана светимость звезды B равна $4\pi\sigma R^2T^4$ , где R и T – радиус и температура звезды. Энергетический поток от звезды на расстоянии L равен

$$J = \frac{B}{4\pi L^2} = \frac{\sigma T^4 R^2}{L^2} = \sigma T^4 \rho^2,$$

где $\rho$ — видимый радиус звезды. Сравнивая звезду-спутник с Солнцем (поток $J_0$ , температура $T_0$ , видимый радиус $\rho_0$ ), получаем выражение для температуры:

$$T = T_0 \left(\frac{J}{J_0}\right)^{1/4} \left(\frac{\rho_0}{\rho}\right)^{1/2}.$$

Эффективная температура звезды равна 2800 К. Учитывая, что светимость звезды B составляет одну сотую от светимости Солнца $B_0$ , получаем среднее расстояние до этой звезды:

$$L = L_0 \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/2} \left(\frac{B}{B_0}\right)^{1/2}.$$

Здесь $L_0$ – расстояние от Земли до Солнца (астрономическая единица). Подставляя численные данные, получаем 220 а.е. По условию задачи масса звезды невелика, и ее орбитальный период можно определить из упрощенного III закона Кеплера, сравнивая ее орбиту с земной:

$$\tau = \tau_0 \left(\frac{L}{L_0}\right)^{3/2}.$$

Орбитальный период звезды составляет 3300 лет.

Орбитальный период звезды составляет 3300 лет.