№ 11.3СОЕДИНЕНИЕ ВЕНЕРЫ И ЮПИТЕРА
Планеты Венера и Юпитер вступают в соединение друг с другом, имея одинаковые экваториальные угловые размеры. Чему равно угловое расстояние между Венерой и Солнцем в этот момент? Орбиты Венеры, Земли и Юпитера считать круговыми и лежащими в одной плоскости.
Изобразим конфигурацию, описанную в условии задачи. Пусть $R_0$ , $R_1$ и $R_2$ — радиусы орбит Земли, Венеры и Юпитера, а $d_1$ и $d_2$ — расстояния от Земли до Венеры и Юпитера соответственно. Венера может находиться в одном из двух положений (1 и 2 на рисунке). Обозначив наблюдаемый угол между Венерой (и Юпитером) и Солнцем через $\gamma$ , запишем выражения теоремы косинусов:
Решение
$$R_1^2 = R_0^2 + d_1^2 - 2R_0 d_1 \cos \gamma,$$
$$R_2^2 = R_0^2 + d_2^2 - 2R_0 d_2 \cos \gamma.$$
Угловые диаметры Венеры и Юпитера совпадают, следовательно
$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{r_2}{r_1} \equiv K.$$
Здесь $r_1$ и $r_2$ — экваториальные радиусы Венеры и Юпитера, а число K составляет 11.8. Умножим первое из уравнений теоремы косинусов на K и вычтем второе уравнение из первого:
$$KR_1^2 - R_2^2 = (K-1)R_0^2 + (K-K^2)d_1^2$$
В результате,
Теоретический тур – 11 класс
Очевидно, Венера находится в положении (1) на рисунке, ближнем к Земле. Из первой формулы теоремы косинусов имеем
$$\gamma = \arccos \frac{R_0^2 + d_1^2 - R_1^2}{2R_0 d_1} = 43^\circ.$$
Ответ
\gamma = \arccos \frac{R_0^2 + d_1^2 - R_1^2}{2R_0 d_1} = 43^"circ.