№ .1ПОДКОВА
Астероид 2010 SO16 движется вокруг Солнца по орбите, практически совпадающей с орбитой Земли. На рисунке (со стороны северного полюса эклиптики) представлена орбита астероида в системе отсчета, которая вращается вокруг Солнца вместе с Землей (Солнце и Земля в этой системе отсчета неподвижны). Траектория движения астероида в этой системе напоминает подкову. Определите направление движения астероида по «подкове» и оцените время, за которое завершается один обход «подковы» астероидом. Толщина подковы на рисунке для удобства увеличена в 20 раз, обе части «подковы» равноудалены от орбиты Земли.
Решение
Поскольку радиус орбиты астероида почти совпадает с радиусом орбиты Земли, то, по закону Кеплера, один оборот вокруг Солнца он совершает примерно за 1 звездный год. Но на рисунке нам дано движение астероида относительно Солнца и Земли. Опишем это движение.
Пусть сначала астероид движется по орбите с радиусом, чуть меньшим радиуса орбиты Земли. Тогда он будет совершать один оборот за время немного меньшее одного года, и будет нагонять Землю. То есть внутреннюю часть подковы он обходит в том же
направлении, в котором Земля вращается вокруг Солнца. Вблизи Земли астероид начинает испытывать влияние земного гравитационного поля, вследствие чего он ускоряется, переходит на орбиту с большим радиусом и начинает отставать от Земли. Таким образом, внешнюю часть подковы он проходит против направления вращения Земли.
Чтобы определить время обхода «подковы», рассчитаем синодический период гипотетического астероида, который движется по внутренней части подковы, и сложим его с синодическим периодом астероида, который движется по внешней ее части.
Из рисунка видно, что толщина подковы составляет примерно 0.15 а.е., но там она увеличена в 20 раз. Реальная толщина равна 0.0075 а.е. Отличие радиуса орбиты астероида и Земли Δa в обоих случаях равно 0.00375 а.е. и отличается только знаком. Для соответствующих орбитальных периодов справедливо соотношение:
$$\frac{(T \pm \Delta T)^2}{T^2} = \frac{(a \pm \Delta a)^3}{a^3}; \quad \Delta T \approx T \frac{3\Delta a}{2a}.$$
Здесь a и T – радиус орбиты и период обращения Земли. Период движения по «подкове» составит
$$S = \frac{T(T - \Delta T)}{T - (T - \Delta T)} + \frac{T(T + \Delta T)}{(T + \Delta T) - T} \approx \frac{2T^2}{\Delta T} = T \frac{4a}{3\Delta a}.$$
Это составляет примерно 355 лет. При этой оценке мы не учли два противоположных фактора: во-первых, траектория астероида представляет собой не две полных окружности, а дуги длиной около 335°, а во-вторых, в момент перехода с одной дуги на другую астероид на некоторое время «останавливается» в указанной системе отсчета.
В работе http://arxiv.org/pdf/1104.0036v1, посвященной исследованию этого астероида, время движения вдоль подковы оценено в 350 лет.
Ответ
350 лет.