Здесь $\rho$ — угловое расстояние между компонентами в угловых секундах, а m — звездная величина более яркой из звезд. Оцените количество оптических двойных звезд с обеими компонентами ярче $6^{\rm m}$ , которые все же могли попасть в каталог Эйткена. Считать, что 6000 звезд ярче $6^{\rm m}$ распределены по небу случайным образом, а число звезд с видимой яркостью более J пропорционально $J^{-3/2}$ .

По заданной формуле мы видим, что в каталог могли попасть звездные пары с угловым расстоянием меньше заданного, причем требование тем жестче, чем слабее звезда. Это имеет логическое объяснение: более яркие звезды, скорее всего, ближе, и там физические двойные звезды могут быть видны под большими углами.

Пусть некоторая звезда имеет блеск m. Рассчитаем вероятность случайного появления другой звезды ярче $6^m$ на угловом расстоянии, не большим $\rho''$ . Последняя величина определяется формулой, заданной в условии. Определим, какую часть небесной сферы занимает окружность с радиусом $\rho''$ :

$$\sigma = \frac{\pi \cdot (\rho / 206265)^2}{4\pi} = \frac{\rho^2}{1.7 \cdot 10^{11}}.$$

Звезд ярче 6m на небе 6000, и вероятность составляет

$$p = 6000 \cdot \sigma = \frac{\rho^2}{2.8 \cdot 10^7}.$$

Разделим все звезды на 6 групп по звездным величинам (ярче $1^{\rm m}$ , от $1^{\rm m}$ до $2^{\rm m}$ и т.д., от $5^{\rm m}$ до $6^{\rm m}$ ). Число звезд ярче $6^{\rm m}$ на небе 6000, число звезд ярче $5^{\rm m}$ ( $N_0$ ) по условию задачи в $2.512^{1.5}$ , то есть в 4 раза меньше и равно 1500. Звезд от $5^{\rm m}$ до $6^{\rm m}$ на небе около 4500. Аналогичным образом, мы можем рассчитать количество звезд N в каждой группе.

| Предельная

Будем считать, что средняя величина $m_{\rm av}$ звезд каждой группы равна среднему между максимумом и минимумом ( $0.5^{\rm m}$ для группы самых ярких звезд, $1.5^{\rm m}$ , $2.5^{\rm m}$ и т.д.). Исходя из этого, рассчитаем величину $\rho$ и вероятность случайного обнаружения другой звезды p для этих групп. Произведение числа звезд и вероятности $N \cdot p$ есть среднее число оптических звезд в каталоге Эйкена, соответствующее каждой группе (отметим, что небольшое количество ярких пар может быть учтено дважды). Данные произведения также приведены в таблице. Проведя суммирование произведений для всех групп, получаем общее вероятное число оптических двойных ярче $6^{\rm m}$ в каталоге Эйткена, оно равно 1.

Полученный ответ показывает обоснованность критерия, введенного при составлении каталога. Более жесткие требования будут лишь исключать из каталога физические двойные звезды, а смягчение критерия резко увеличит число оптических двойных. Нужно также учесть, что реальное число оптических двойных в каталоге Эйткена может быть больше вследствие неравномерности распределения звезд на небе с повышенной плотностью вблизи Млечного Пути.

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР