Основу массы облака составляет газ, прозрачный для излучения. Ослабление света происходит на пылевых частицах. Пусть $J_0$ и J — величины потока излучения, входящего в облако и выходящего из него. Если облако только поглощает излучение и не излучает само, то эти величины связаны уравнением

$$J = J_0 e^{-\tau},$$

где $\tau$ – оптическая толщина облака, которую можно трактовать как число частиц на пути луча света. Из закона Погсона известно, что

$$J = J_0 10^{0.4(m_0 - m)}$$

Сравнивая эти выражения и принимая во внимание, что блеск звезд за облаком ослаблен на 1m, получаем, что среднее число частиц на пути света равно

$$\tau = \ln 2.512 \sim 1.$$

Обозначив радиус пылинок как r, а радиус облака через R, записываем выражение

$$2R n \pi r^2 = \tau$$

Здесь n — концентрация пылевых частиц. Отсюда мы выражаем массовую плотность пыли в облаке $\rho_D$ и полную плотность $\rho$ :

$$\rho_{D} = n \cdot \frac{4}{3} \rho_{0} \pi r^{3}; \quad \rho = K \rho_{D} = \frac{2K \tau \rho_{0} r}{3R}.$$

Здесь $\rho_0$ — плотность одной пылинки, K — соотношение массы газа и пыли в облаке (учитываем, что оно значительно больше единицы). Запишем формулу для круговой (первой космической) скорости на краю облака:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{4\pi G\rho}{3}} \cdot R = \sqrt{\frac{8\pi GK\tau\rho_0 rR}{9}}.$$

Коэффициент 8/9 близок к единице, и в дальнейших расчетах мы его опускаем. Облако перестанет быть устойчивым и начнет сжиматься, если характерные скорости частиц (молекул газа) станут меньше первой космической скорости. Среднеквадратичная скорость частицы равна

$$v_T = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3\Re T}{\mu}}.$$

Здесь m — масса молекулы водорода, $\mu$ — молярная масса, k — постоянная Больцмана, $\Re$ — универсальная газовая постоянная, T — температура. Отсюда получаем выражение для радиуса:

$$R \ge \frac{3\Re T}{\pi G \mu K \tau \rho_0 r} \approx \frac{\Re T}{G \mu K \tau \rho_0 r} = 2.5 \cdot 10^{16} \text{ м} \approx 0.8 \text{ пк.}$$

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс

$R \ge \frac{3\Re T}{\pi G \mu K \tau \rho_0 r} \approx \frac{\Re T}{G \mu K \tau \rho_0 r} = 2.5 \cdot 10^{16} \text{ м} \approx 0.8 \text{ пк.}$