$$k = v_0 t + \frac{\dot{\mathbf{v}} t^2}{2}.$$

Нам интересны моменты времени, соответствующие полным оборотам и целым значениям k. Пусть k — число оборотов вокруг своей оси, совершенных пульсаром начиная с момента, которому соответствует угловая скорость $\omega_0$ . Тогда для определения времени прихода k-го импульса надо решить квадратное уравнение

$$t^2 + 2t \frac{v_0}{\dot{v}} - 2 \frac{k}{\dot{v}} = 0.$$

Решением этого уравнения будет

$$t_{k1,2} = -\frac{v_0}{\dot{v}} \pm \sqrt{\left(\frac{v_0}{\dot{v}}\right)^2 + \frac{2k}{\dot{v}}}.$$

Решение со знаком "-" отрицательно, и мы его не рассматриваем. Если бы пульсар не замедлялся, то время прихода k-го импульса определялось бы как

$$t_{k0} = \frac{k}{v_0}.$$

В итоге, временная задержка прихода k-го импульса составит:

$$\Delta t_k = t_{k1} - t_{k0} = -\frac{v_0}{\dot{v}} + \sqrt{\left(\frac{v_0}{\dot{v}}\right)^2 + \frac{2k}{\dot{v}}} - \frac{k}{v_0}.$$

Это уравнение можно путем несложных преобразований свести к квадратному относительно k:

$$k^{2} + 2v_{0}\Delta t_{k} \cdot k + (v_{0}\Delta t_{k})^{2} + 2\frac{v_{0}^{3}}{\dot{v}}\Delta t_{k} = 0.$$

Решив это уравнение, получаем

$$k = -v_0 \Delta t_k \pm \sqrt{-2 \frac{v_0^3}{\dot{v}} \Delta t_k}.$$

Знак "—" под корнем не должен смущать, поскольку пульсар тормозится, и величина $\dot{v}$ отрицательна. Второе решение вновь не имеет физического смысла, поэтому мы его рассматривать не будем. Переходя от частот к периодам с учетом $P_0 = \mathbf{v}_0^{-1}$ , имеем:

$$\dot{P} = \frac{P_1 - P_0}{\Delta t_1} = \frac{v_1^{-1} - v_0^{-1}}{\Delta t_1} = \frac{v_0 - v_1}{v_0 v_1 \Delta t_1} \approx -\frac{\Delta v}{\Delta t} \cdot \frac{1}{v_0^2} = -\frac{\dot{v}}{v_0^2}.$$

Для заданной величины временной задержки $\Delta t_k$ получаем число k:

$$k = -\frac{\Delta t_k}{P_0} + \sqrt{2\frac{\Delta t_k}{P_0 \dot{P}}} \approx \sqrt{2\frac{\Delta t_k}{P_0 \dot{P}}} = 1.4 \cdot 10^6.$$

Таким образом, обнаружить изменение периода пульсара можно через $1.4 \cdot 10^6$ импульсов, что составляет немногим более 16 дней.

Эту задачу можно решить и другими способами. Рассмотрим, например, как меняются моменты прихода импульсов из-за увеличения периода. Каждый раз новый импульс приходит чуть позже, чем ему следовало бы в случае постоянного периода. Вклад в разницу вносит задержка импульса не только в течение последнего периода, но и всего времени, накопленного в ходе наблюдений начиная с момента $t_0$ . Именно поэтому мы замечаем изменение периода гораздо раньше, чем период сам изменится на требуемую величину.

Пусть, как и раньше, $t_k$ обозначает время прихода k-го импульса. Будем считать $t_0$ =0. Тогда первый импульс придет в момент времени

$$t_1 = P_0 + \Delta P_1$$

второй импульс – в момент

$$t_2 = t_1 + (t_1 + \Delta P_2) = 2P_0 + 2\Delta P_1 + \Delta P_2$$

третий импульс – в момент

$$t_3 = t_2 + (t_1 + \Delta P_2 + \Delta P_3) = 3P_0 + 3\Delta P_1 + 2\Delta P_2 + \Delta P_3$$

и так далее. Величины $\Delta P_k$ — это разницы периодов в моменты $t_k$ и $t_{k-1}$ . Строго говоря, они различны, но, в силу ничтожности различия в периодах в моменты приходов соседних импульсов, их можно считать равными. Тогда формула для момента прихода k-го импульса упрощается:

$$t_k = kP_0 + \Delta P \sum_{n=1}^{k} n = kP_0 + \frac{k+1}{2} k\Delta P \approx kP_0 + \frac{k^2}{2} \Delta P.$$

Задержка момента прихода есть

$$\Delta t_k = t_k - kP_0 = \frac{k^2}{2} \Delta P.$$

Задав требуемую задержку, получаем величину k:

$$k = \sqrt{\frac{2\Delta t_k}{\Delta P}} = \sqrt{\frac{2\Delta t_k}{P_0 \dot{P}}},$$

что совпадает с полученным ранее соотношением.

$1.4 \cdot 10^6$ импульсов, что составляет немногим более 16 дней.