Рассмотрим луч, идущий вдоль оптической оси на расстоянии h от нее. Этот луч, отразившись от зеркала, пересечет оптическую ось на расстоянии x от центра кривизны. Пусть угол отражения равен $\alpha$ . Тогда

$$\sin\alpha = \frac{h}{2f}.$$

Обратим внимание, что угол между оптической осью зеркала и радиусом в точке касания также равен α. Воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{x}{\sin\alpha} = \frac{2f}{\sin(\pi - 2\alpha)}; \qquad x = 2f \frac{\sin\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{f}{\cos\alpha} = f \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2\alpha}}.$$

Из этой формулы видно, что, чем дальше от оптической оси шел луч до отражения, тем дальше от фокуса он пересечет оптическую ось после отражения и, очевидно, тем дальше от оптической оси попадет на фокальную плоскость. Расстояние от точки пересечения оптической оси до фокуса составит

$$\delta = x - f = f \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} - 1 \right) \approx f \frac{\sin^2 \alpha}{2}.$$

Полученная величина называется продольной сферической аберрацией. Продолжая свой путь, луч пересечет фокальную плоскость на расстоянии y от оптической оси. Поскольку $\delta$ и y — стороны прямоугольного треугольника,

$$y = \delta \cdot \lg 2\alpha = f \frac{\sin^2 \alpha}{2} \cdot \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2\sin^2 \alpha} = f \frac{\sin^3 \alpha \cos \alpha}{1 - 2\sin^2 \alpha}.$$

Учтем, что угол α мал:

$$y = f \sin^3 \alpha = \frac{h^3}{8 f^2}.$$

Самое большое отклонение претерпит луч, попадающий на край зеркала, т.е. при h = d/2:

$$y_0 = f \sin^3 \alpha = \frac{d^3}{64 f^2}.$$

Эта величина, являющаяся радиусом кружка рассеяния, называется поперечной

сферической аберрацией. В то же время, точечный источник из-за дифракции будет виден в виде кружка (кружка Эйри) с угловым радиусом ϕ=1.22 λ/d. Таким образом, в фокальной плоскости получится кружок размером

$$r_d = f\varphi = 1.22 \frac{f\lambda}{d}$$

Чтобы кружок сферической аберрации был меньше дифракционного, должно выполняться условие:

$$1.22 \frac{f\lambda}{d} > \frac{d^3}{64 f^2}$$

Отсюда имеем:

$$d < (1.22 \cdot 64 \cdot f^3 \cdot \lambda)^{1/4}.$$

Для фокусного расстояния 1 м и длины волны 550 нм диаметр объектива должен

d < (1.22 \cdot 64 \cdot f^3 \cdot \lambda)^{1/4}.