$$\gamma = v \sin\theta / c$$ ,

где v – орбитальная скорость Земли, с – скорость света, θ – угол между скоростью и направлением на звезду. Величина аберрации максимальна, когда движение нашей планеты происходит перпендикулярно направлению на звезду. Для указанной в условии задачи звезды Грумиум близкая к этому ситуация наблюдается постоянно, так как эта звезда

располагается недалеко от северного полюса эклиптики (прямое восхождение 18ч, склонение +66.6°), угол θ всегда не меньше 80°, а его синус – не меньше 0.985. В этом случае звезда описывает на небе за год круг, а величина аберрации составляет

$$\gamma = v/c = 10^{-4} \text{ рад} \sim 20''$$

В день осеннего равноденствия, когда орбитальная скорость Земли направлена вдоль плоскости меридиана в направлении точки летнего солнцестояния (рисунок), аберрационное смещение направлено на север. В день весеннего равноденствия видимое положение звезды смещается на юг. Склонение звезды на Δδ=13″ больше широты места наблюдения, и аберрация должна сместить ее на юг на эту величину.

Из рисунка видно, что условие задачи будет выполнено, если положение звезды на круге аберрации (и Земли на орбите) будет отстоять от положения, соответствующего весеннему равноденствию, на угол

$$\theta = \arccos \frac{\Delta \delta}{\gamma} \approx 50^{\circ} = 3420 \text{m}.$$

Это происходит примерно за 51 день до и после весеннего равноденствия, то есть около 30 января и 10 мая. Если пренебречь уравнением времени, то звездное время в среднюю

полночь S в эти дни равно 180 ± 50° или 12ч ± 3ч20м (январю соответствует знак "–", маю – знак "+"). Местное время верхней кульминации данной звезды в зените соответствует звездному времени, равному ее прямому восхождению α (его изменением за счет аберрации мы пренебрегаем) и равно

$$T = \alpha - S = 9$$ м20м или 2ч40м.

1 этап: 1 балл.

Указание аберрации света как причины изменения видимых экваториальных координат звезды.

2 этап: 1 балл.

Правильное указание величины аберрационного смещения звезды как известного, либо его получение на основе значения орбитальной скорости Земли.

Правильное указание направления сдвига звезды за счет аберрации в разные сезоны года, описанное явно или следующее из решения. Если направление отличается от правильного на значительный угол (90°, 180°), за 3 этап выставляется 0 баллов, но последующие этапы оцениваются в полной мере при условии их корректного выполнения.

Указание двух сезонов (каждый – по 1 баллу), в которые возможна кульминация звезды в зените. Учет изменения прямого восхождения звезды за счет аберрации на оценку не влияет.

Определение местного времени кульминации звезды в каждый из этих сезонов (по 1 баллу).

Возможная ошибка при решении: игнорирование явлением аберрации и вывод, что звезда в зенит не попадает. Оценка в этом случае составляет 1 балл.

ОСКОЛКИ ЛУНЫ X/XI.5 Е.Н. Фадеев, О.С. Угольников

Условие. Враждебные инопланетяне разрушили Луну, превратив ее в огромное количество шарообразных осколков диаметром 10 м. Все эти тела стали двигаться, равномерно заполнив пространство вокруг Земли между сферами размером с перигей и апогей лунной орбиты. Оцените концентрацию этих осколков и звездную величину всей полусферы ночного неба на Земле. Влиянием земной атмосферы пренебречь. Считать все осколки одинаковыми, а их плотность и оптические свойства аналогичными самой Луне.