№ 10.2ЛУННЫЙ ЗВЕЗДНЫЙ КАТАЛОГ
Решение. Перечислим все факторы, которые будут влиять на размер области неба, которая может быть покрыта Землей при наблюдении с лунной обсерватории. Земля имеет значительный угловой размер (максимально возможный радиус r около $1.02^{\circ}$ ) и движется относительно звезд вдоль линии пересечения небесной сферы и плоскости орбиты системы Земля-Луна. Ось этой линии наклонена на угол i (5.15°) к оси эклиптики и вращается вокруг нее с периодом 18.6 лет. Таким образом, Земля в своем движении заметает пояс вдоль эклиптики шириной
Решение
$$h = 2 (i + r) \sim 12.3^{\circ}$$
Мы не учитываем здесь параллактический сдвиг Земли, зависящий от положения точки на Луне, так как за счет синхронного осевого вращения Луны этот сдвиг будет почти постоянным и приведет только к смещению серой области на рисунке как единого целого. Влияние лунных либраций будет исчисляться несколькими сотыми градуса, что можно не учитывать. Если лунная обсерватория установлена вдали от полюсов, то в разные моменты времени с нее будут доступны все участки области небесной сферы, которые могут быть покрыты Землей. Определим отношение площади данной области и всего неба:
$$\eta = \frac{2\pi R^2 h}{4\pi R^2} = \frac{h}{2} \approx 0.107.$$
Если считать, что 6000 звезд ярче 6m распределены по небесной сфере равномерно (это можно делать, так как эклиптика образует большой угол с Млечным путем), то в данный каталог должно войти около 650 звезд.
1 этап: 5 баллов.
Указание факторов, определяющих размер области неба, покрываемой Землей: прецессии плоскости орбиты системы Земля-Луна (2i = 11.3°, 3 балла) и видимые размеры Земли (2r = 2.0°, максимальные или средние, 2 балла). Не-учет фактора 2 на каждом из этапов уменьшает оценку на 1 балл. Если вместо угла (i+r) участники берут близкую величину либрации Луны по широте (около 7°), оценка уменьшается на 2 балла, так как на либрацию влияет также наклон оси вращения Луны к плоскости ее орбиты, а на покрытиях звезд он не сказывается. Если участники олимпиады дополнительно учитывают параллактическое смещение Земли за счет либраций (2*0.03°) – это не изменяет оценку, если же они берут полный параллакс (2*0.25°) – оценка уменьшается на 2 балла, так как при наблюдении из фиксированной точки Луны параллактическое смещение Земли практически постоянно. Неточности, допущенные на первом этапе, не являются основанием для снижения оценки на последующих этапах, если там не сделаны дополнительные ошибки.
Определение доли небесной сферы, где могут происходить покрытия. Эту долю участники могут считать как цилиндром, так и фрагментом сферы.
Определение числа звезд в каталоге. Необходимо принимать во внимание, что это лишь примерная оценка, участники могут брать несколько различающиеся значения общего числа ярких звезд на небе (5500-6500).
ЗВЕЗДА В ЗЕНИТЕ X.4 О.С. Угольников
Условие. В какой сезон и в какое местное (среднее солнечное) время звезда Грумиум (ξ Дракона) может оказаться точно в зените в точке России с координатами 56°52′00″ с.ш., 30°00′00″ в.д.? Склонение звезды на эпоху 2017 года равно +56°52′13″, прямое восхождение считать равным точно 18ч. Эксцентриситетом орбиты Земли, уравнением времени, прецессией, нутацией, параллаксом и собственным движением звезды пренебречь.