$$\omega^2(R-r) = \frac{GM}{(R-r)^2} - \frac{Gm}{r^2}; \quad \omega^2 R = \frac{GM}{R^2}.$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$\frac{GMr}{R^3} = \frac{Gm}{r^2} + \left(\frac{GM}{R^2} - \frac{GM}{(R-r)^2}\right).$$

Воспользовавшись формулами для приближенного вычисления, получаем

$$\frac{GMr}{R^3} = \frac{Gm}{r^2} - \frac{2GMr}{R^3}.$$

В итоге имеем:

$$r = R \cdot \left(\frac{m}{3M}\right)^{1/3}.$$

Коль скоро масса планеты меньше массы звезды, точка $\mathbf{L}_1$ располагается недалеко от планеты. Орбита аппарата — эллиптическая. Апоцентр орбиты аппарата — единственная ее точка, где он может вернуться к планете. Наиболее быстрое возвращение может случиться через один оборот планеты, когда она сама окажется в этой точке. Тогда орбитальный период аппарата t должен быть равен T/N, где T — орбитальный период планеты, а N — натуральное число. Считая массу планеты малой по сравнению с массой звезды и не учитывая взаимодействие аппарата с планетой, получаем выражение для большой полуоси орбиты аппарата

$$a = R \cdot \left(\frac{1}{N}\right)^{2/3}.$$

Физический смысл имеет только случай с N=2, так как уже при N=3 мы получим значение a, меньшее R/2, что невозможно для апоцентра аппарата на расстоянии R. Исходя из расстояния в апоцентре, получаем значение эксцентриситета орбиты:

$$e = \frac{R}{a} - 1 = 2^{2/3} - 1 = 0.59.$$

Точка $L_1$ является фокусом эллипса, и a(1-e)=r:

$$R \cdot (2^{1/3} - 1) = R \cdot \left(\frac{m}{3M}\right)^{1/3}.$$

Отсюда получаем соотношение масс планеты и звезды

$$\frac{m}{M} = 3 \cdot (2^{1/3} - 1)^3 \approx 0.05.$$

Система оценивания (от одного члена жюри). Решение задачи разбивается на несколько этапов, которые могут выполняться в произвольной последовательности.

1 этап: 3 балла.

Выражение для расстояния между планетой и точкой Лагранжа, которое можно вывести или взять как известное. Участники могут рассматривать более общий случай произвольного соотношения масс двух тел при вычислении положения точки Лагранжа. Это не считается ошибкой и оценивается полностью при условии правильности вычислений.

Формулировка условия скорейшего возвращения аппарата к планете. При этом нужно обосновать, что смысл имеет только случай N=2 (аппарат делает два, а не какое-либо другое целое число оборотов вокруг звезды). Если этого не делается и рассматривается только случай N=2, оценка уменьшается на 1 балл.

3 этап: 3 балла.

Вычисление отношения масс.

XI.4 ЭФФЕКТ ПОЙНТИНГА-РОБЕРТСОНА О.С. Угольников

Условие. Суть известного эффекта Пойнтинга-Робертсона состоит в тормозящем действии боковых солнечных фотонов, имеющих встречную компоненту скорости относительно тела, движущегося вокруг Солнца. Как и насколько изменит расстояние от Солнца за один оборот сферическая графитовая частица радиусом 10 мкм и плотностью 2.1 г/см3, изначально обращающаяся по орбите радиусом 1 а.е. и эксцентриситетом, равным нулю?