Пусть некоторая звезда имеет пространственный радиус R. Чтобы Вы смогли различить ее диск, она должна быть удалена от Земли на расстояние d, не превышающее $2R/\delta$ . Здесь $\delta$ – предел разрешения прибора, выраженный в радианах (около $10^{-7}$ ). Если эффективная температура звезды T, то ее светимость будет равна

$$B = B_0 \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \cdot \left(\frac{T}{T_0}\right)^4. \tag{1}$$

Здесь $R_0$ , $T_0$ и $B_0$ — радиус, эффективная температура и светимость Солнца. Соотношение плотностей потока энергии на Земле от этой звезды и от Солнца составит

$$\frac{J}{J_0} = \frac{B/4\pi d^2}{B_0/4\pi d_0^2} = \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \cdot \left(\frac{d_0}{d}\right)^2 \cdot \left(\frac{T}{T_0}\right)^4. \tag{2}$$

Здесь $d_0$ – расстояние от Земли до Солнца. Теперь обратим внимание, что за исключением двух звезд (Сириуса и Канопуса), которые будут рассмотрены отдельно, все далекие звезды на земном небе не превосходят в блеске $0^{\rm m}$ . С учетом того, что Солнце в небе Земли имеет блеск $-26.8^{\rm m}$ , соотношение $J/J_0$ не выше 1/K, где

$$K = 10^{0.4 \cdot 26.8} = 5.2 \cdot 10^{10}.$$

Из этого имеем:

$$\left(\frac{T}{T_0}\right)^4 \le \frac{1}{K} \cdot \left(\frac{R_0}{R}\right)^2 \cdot \left(\frac{d}{d_0}\right)^2 = \frac{\delta_0^2}{4K} \left(\frac{d}{R}\right)^2 \le \frac{\delta_0^2}{K\delta^2}.$$

Здесь $\delta_0$ — угловой диаметр Солнца, равный $9.3\cdot 10^{-3}$ радиан. В итоге, отношение в правой части уравнения (4) оказывается равным 0.18. Температура звезд, у которых можно различить диски, не превысит $T_0\cdot 0.18^{1/4}=3800$ К. Список звезд с угловым диаметром более 0.02'' в небе Земли ограничивается лишь немногочисленными красными гигантами и сверхгигантами, самый известный из которых — Бетельгейзе — первая далекая звезда, для которой удалось построить изображение.

Возвращаясь к Сириусу и Канопусу, отметим, что обе эти звезды горячие, с температурой поверхности более 7500 К. Имей они угловой диаметр 0.02", их видимая звездная величина была бы не слабее -3 m, что заведомо не соответствует действительности. Даже у звезд солнечного типа диск удалось бы различить при блеске ярче -1.8 m, таких звезд на ночном небе Земли нет.

Система оценивания, максимум – 10 баллов:

Выше приведен только один метод решения. Участники могут действовать по-другому, например, сразу использовать тот факт, что поверхностная яркость звезды определяется только ее температурой, будучи пропорциональной ее четвертой степени, это вполне допустимо. Далее они могут определять поверхностные яркости звезды 0m с угловым диаметром 0.02″ и сравнить ее с поверхностной яркостью Солнца. При использовании метода, описанного выше, решение разделяется на этапы:

1 этап – 4 балла: установление связи между видимой яркостью звезды, ее угловым диаметром и температурой (формула (2) в решении или эквивалентная запись). Из записи участника должна следовать пропорциональность квадрату углового радиуса (диаметра) и четвертой степени температуры. Запись может не делаться в явном виде, но быть фактически включенной в выкладки участника. Так же оценивается прямая связь поверхностной яркости и четвертой степени температуры. При качественно неверной зависимости (неправильные показатели степени) этап не засчитывается.

Вероятная ошибка в решении участника: ошибочные численные коэффициенты 2 или 4, вызванные путаницей между угловым или видимым радиусом и диаметром. Оценка за этап уменьшается на 2 балла, остальные оцениваются в полной мере.

2 этап – 3 балла: привлечение дополнительной информации о максимальной яркости звезд ночного неба. Оценивается полностью, если принимаются значения от −0.7m (блеск Канопуса) до 0.5m (максимальный блеск Бетельгейзе – известной участникам звезды с большим угловым диаметром). При дальнейших правильных вычислениях это даст граничные итоговые температуры 4400 и 3300 K соответственно. Таким образом, включение в список звезд – кандидатов на разрешение диска Канопуса не приводит к уменьшению оценки. Если в этом качестве берется блеск Сириуса (около −1.5m, итоговая температура 5300 K), оценка снижается на 1 балл, так как участникам должно быть известно, что Сириус по крайней мере горячее Солнца, а холодных звезд с большими угловыми диаметрами и такой большой видимой яркостью на ночном небе нет. Если данная звездная величина берется в интервале от 0.5m до 1.0m – оценка также снижается на 1 балл, при больших отклонениях – этап не засчитывается, но дальнейшие этапы в этом случае оцениваются в полной мере, исходя из правильности их выполнения.

3 этап – 3 балла: вычисление максимальной эффективной температуры. Точность (без учета ошибок на предыдущих этапах) составляет 500K, при ошибках до 1000K оценка снижается на 1 балл, при ошибках до 1500K – на 2 балла.