Изобразим на рисунке положение Солнца, Земли и ядра кометы в плоскости, проходящей через эти три объекта (она может не совпадать с плоскостями орбиты Земли или кометы).

Обозначим гелиоцентрические расстояния Земли и кометы как r и d, принимая во внимание, что d>r. Хвост кометы направлен в пространстве от Солнца, и в небе Земли он не может зайти дальше направления, показанного на рисунке стрелкой. Обозначим максимальную угловую длину хвоста кометы через γ. Из рисунка мы видим, что он будет равен элонгации Земли при наблюдении с кометы. Она достигает максимума, если угол «Солнце-Земля-ядро кометы» прямой, и направление от кометы к Земле касается окружности с радиусом r, содержащей Землю (еще раз подчеркнем, что это не обязательно орбита Земли, так как про плоскость орбиты кометы в условии ничего не сказано). В итоге, максимальная длина хвоста кометы в небе Земли составит

$$\gamma = \arcsin(r/d) = 56^{\circ}$$ .

Система оценивания, максимум – 10 баллов:

1 этап – 6 баллов: Графическое или текстовое указание, в каком случае будет достигаться максимальная угловая длина хвоста кометы в небе Земли – ее удаление на небе на 90° от Солнца (квадратура кометы). При иной формулировке условия она должна быть эквивалентна приведенной выше. Участник олимпиады может рассматривать картину только

в плоскости эклиптики, называя окружность, дуга которой приведена на рисунке, орбитой Земли. Это не сказывается на оценке при условии верного выполнения.

2 этап – 4 балла: определение численного значения угла γ. Требуемая точность – 2°. При правильной формуле и ошибке до 4° выставляется 3 балла, при ошибке до 6° – 2 балла. При неверной постановке условия на угол γ (неверно выполненном первом этапе) оценка за второй этап определяется точностью вычислений, исходя из формулы, полученной участником, но не превышает 2 баллов.

Вероятная ошибка участника – правильное представление положения кометы (первый этап), но вместо arcsin дается формула с arccos (ответ 34°), arctg (40°), arcctg (50°). В этом случае второй этап засчитывается не более, чем в 1 балл.

Возможная грубая ошибка участника – построение, при котором длина хвоста кометы, удаленной от Солнца более, чем на 1 а.е., может превысить 90°. Если подобный ответ получается как следствие неправильного построения – оценка за решение составляет 0 баллов.

$\gamma = \arcsin(r/d) = 56^{\circ}$.