Рассмотрим планету на орбите с эксцентриситетом e вокруг красного гиганта:

Как известно, скорость планеты на некотором расстоянии r от звезды равна

$$v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)},\tag{1}$$

где M — масса звезды, a — большая полуось орбиты. После быстрого сброса половины массы звезды планета останется на орбите около звезды, если ее скорость будет меньшей, чем вторая космическая скорость относительно тела с массой (M/2) на расстоянии r:

$$v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)} < \sqrt{\frac{2G(M/2)}{r}}.$$

Из этого мы получаем условие сохранения планеты в системе звезды: r > a, то есть планета в момент сброса должна находиться от звезды на большем расстоянии, чем большая полуось своей орбиты.

Проведем на эллипсе его большую и малую оси. Малая ось пересекает эллипс в точках $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ . Как следует из свойств эллипса, именно в этих точках расстояние от центра звезды (фокуса эллипса, точки $\mathbf{S}$ ) равно a. Иными словами, если в момент сброса оболочки планета окажется в левой половине своей орбиты — она покинет систему, если в правой — останется в

ней. Времена нахождения планеты в этих половинах отличается, в соответствии с II законом Кеплера, они относятся так же, как площади серой и белой частей эллипса на рисунке.

Длина малой полуоси эллипса есть

$$b = a\sqrt{1 - e^2} \,. \tag{3}$$

Площадь всего эллипса $S_0$ есть $\pi ab$ , площадь треугольника SOA на рисунке, $S_T$ , равна abe/2. Определим, какая часть площади эллипса приходится на его белую область на рисунке. Эта область состоит из правой половины эллипса и двух треугольников с площадью $S_T$ каждый:

$$P = \frac{(S_0/2) + 2S_T}{S_0} = \frac{ab \cdot ((\pi/2) + e)}{\pi ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{\pi}.$$

Полученная величина есть вероятность планеты в момент сброса оболочки остаться на эллиптической орбите около звездного остатка. Она нам задана в условии и равна 0.7. Отсюда мы получаем эксцентриситет планетных орбит в системе до сброса оболочки:

$$e = \pi (P - 1/2) = 0.63.$$

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

$\frac{1 \text{ этап} - 3 \text{ балла:}}{1 \text{ отап} - 3 \text{ балла:}}$ указание, из какой части орбиты планета может улететь из системы звезды при потере 50% ее массы, а в каком случае она останется в системе. Вывод может быть указан как известный без математических выкладок. Этап оценивается только в случае вывода о равных частях эллипса, иначе за этап выставляется 0 баллов.

2 этап — 5 баллов: связь вероятности сохранения планеты в системе и изначального эксцентриситета орбиты.

При неточной связи члену жюри нужно проверить связь участника на осмысленность. Если вероятность, в соответствии с решением участника, равна 0.5 при e=0, далее возрастает с эксцентриситетом, но не превышает единицу при e<1, то эта неточная связь оценивается до 2 баллов с сохранением оценки за последующий этап. Если при этом отличие вероятности от верной не превышает 0.1 на всем интервале эксцентриситетов от 0 до 1, оценка за этап увеличивается до 1 баллов. При нарушении одного из двух указанных критериев (10) и максимальная оценка за этап составляет 11 балл, при нарушении обоих критериев этап не засчитывается.

Вероятная ошибка при решении: указание, что вероятность равна 50%, так как соответствующие дуги эллипса одинаковые. Вывод противоречит условию и лишает смысла второй и третий этапы решения. Засчитан может быть только первый этап решения.

3 этап — 2 балла: вычисление эксцентриситета орбит планет. Ошибки на втором этапе не влияют на оценку за 3 этап, если в итоге 2 этапа была получена неабсурдная связь P(e). Требуемая точность — 0.05 (ответ 0.6 при правильных выкладках считается верным).

Вероятное неверное решение участника: связь сохранения большинства планет с возможными резонансами и одновременном нахождении планет вблизи апоцентров орбит в момент сброса оболочки. Такое решение несостоятельно ввиду очень большого числа планет, что указано в условии. Вне зависимости от решения оценка не может превышать 2 баллов.