Определим вначале расстояние между Венерой и Землей. Это несложно сделать, приняв, что Венера находится в наибольшей восточной элонгации при круговых орбитах:

Здесь a и $a_0$ – радиусы орбит Венеры и Земли. Определим теперь максимальный угол между направлением на звезду и линией, соединяющий центры Земли и Венеры, при котором возможно наступление покрытия хотя бы где-нибудь на Земле:

$$\gamma = \frac{r + r_0}{l} = 1.2 \cdot 10^{-4} \text{ pag} = 24.8''.$$

Обратим внимание, что этот угол примерно вдвое больше видимого радиуса Венеры. В итоге, область Плеяд, в которой звезды могут быть покрыты Венерой, образуют прямоугольник со сторонами d (угловой диаметр скопления) и $2\gamma$ .

Определим, какую часть видимой площади Плеяд занимает этот прямоугольник:

$$k = \frac{2d\gamma}{\pi d^2 / 4} = \frac{8\gamma}{\pi d} \approx 0.012 \approx \frac{1}{85}.$$

Таким образом, если в Плеядах есть N=85 звезд ярче звездной величины m, то можно ожидать, что какая-то из них будет покрыта Венерой. Нам нужно определить эту самую величину m. Учтем, что в Плеядах есть $N_0 \approx 10$ звезд, видимых невооруженным глазом, то есть звезд ярче звездной величины $m_0=6$ . Тогда количество звезд ярче величины m будет равно

$$N = N_0 \left(\frac{J(m)}{J(m_0)}\right)^{-1/2} = N_0 (10^{-0.4(m-m_0)})^{-1/2} = N_0 \cdot 10^{0.2(m-m_0)}.$$

Отсюда мы оцениваем звездную величину самой яркой покрываемой Венерой звезды:

$$m = m_0 + 5 \lg(N/N_0) \approx 10.5.$$

Наша приближенная оценка оказывается близка к действительности. Вечером 3 апреля 2020 года, около 20 часов по московскому времени Венера покрыла звезду GSC 1800:1620 с блеском $9.7^{\rm m}$ . Произошло также несколько покрытий звезд с блеском чуть слабее $10^{\rm m}$ .

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

$1 \ \,$ этап — $1 \ \,$ балл: определение расстояния между Землей и Венерой в восточной элонгации. Выставляется только при правильном методе (формуле) и точности не хуже 0.02 а.е.

2 этап — 4 балла: вычисление ширины полосы на небе, в которую должны попасть звезды скопления Плеяды, чтобы произошло покрытие. Требуемая точность — 5%, при арифметической ошибке до 10% оценка уменьшается на 1 балл, при ошибке до 20% оценка уменьшается на 2 балла.

Вероятная ошибка при решении: размер полосы считается равным видимому диаметру Венеры, что уменьшает ее примерно в 2 раза. В случае этой физической ошибки оценка за второй этап составляет 1 балл только в случае отсутствия иных ошибок, иначе этап не засчитывается, но последующие оцениваются в полной мере.

Вероятная ошибка при решении: опускание фактора 2 при расчете ширины полосы (угловой диаметр Венеры путается с радиусом). Аналогично, оценка за второй этап составляет 1 балл только в случае отсутствия иных ошибок, иначе этап не засчитывается, но последующие оцениваются в полной мере. Если обе указанные ошибки накладываются друг на друга (эффект порядка 4 раз) – этап не засчитывается.

3 этап — 3 балла: вычисление доли площади Плеяд на небе, которая может быть покрыта Венерой. Требуемая точность (без учета ошибок на предыдущих этапах) — 10%. При ошибках до 20% оценка уменьшается на 1 балл, далее — на 2 балла.

Вероятная ошибка при решении участника: путаница радиуса и диаметра скопления с итоговой ошибкой в 2 или 4 раза. Максимальная оценка за этап составляет 1 балл.

$\frac{4\ \mathrm{этап}-2\ \mathrm{балла:}}{1.5^{\mathrm{m}}}$ , при округлении до целых ответы $10^{\mathrm{m}}$ и $11^{\mathrm{m}}$ засчитываются как правильные, если не сделано ошибок на предыдущих этапах. Участник может указать, что из N звезд ярче найденной величины m некоторые могут оказаться ярче, а половина из них — в 4 раза или на $1.5^{\mathrm{m}}$ более яркими, чем найденная граница. Хотя данные рассуждения не являются абсолютно корректными с точки зрения теории вероятности, они оцениваются полностью, и ответы $9\text{-}10^{\mathrm{m}}$ , полученные таким образом, засчитываются.

Вероятный ход решения: участник может по-другому "калибровать" количество известных ему ярких звезд в Плеядах: например, считать, что там 6 звезд ярче $6^{\rm m}$ (с итоговым ответом при правильных вычислениях $11.7^{\rm m}$ , оценивается полностью) или что там 1 звезда ярче $3^{\rm m}$ (с итоговым ответом $12.6^{\rm m}$ , снижение на 1 балл, так как статистические оценки нельзя делать на базе одной звезды).

$\frac{4\ \mathrm{этап}-2\ \mathrm{балла:}}{1.5^{\mathrm{m}}} , при округлении до целых ответы\ 10^{\mathrm{m}}$ и $11^{\mathrm{m}}$ засчитываются как правильные, если не сделано ошибок на предыдущих этапах.