Определим начальные значения светимости и радиуса протозвезды из закона Стефана-Больцмана:

$$L_1 = L_0 10^{-0.4(m - m_0)} \approx 80L_0; \quad R_1 = R_0 (T_0 / T)^2 \sqrt{L_1 / L_0} \approx 25R_0.$$

Здесь $R_0$ , $L_0$ и $T_0$ — радиус, светимость и температура Солнца, T — температура поверхности протозвезды. В недрах протозвезды еще не начались термоядерные реакции, и она светит за счет своего постепенного сжатия. Гравитационная энергия протозвезды равна

$$E_G = -\gamma \frac{GM^2}{R},\tag{2}$$

где M и R — масса и текущий радиус протозвезды. Коэффициент $\gamma$ близок к единице, в дальнейшем мы его опускаем. С течением времени радиус уменьшается, в соответствии с этим уменьшается и гравитационная энергия. Освобождающаяся энергия идет, во-первых, на нагрев недр протозвезды, а во-вторых, на излучение. Логично предположить (и это на самом деле близко к истине), что на обе цели энергия расходуется в равных количествах. Пусть в течение какого-то короткого интервала времени $\Delta t$ радиус звезды изменился на $\Delta R$ (обратим внимание, что $\Delta R$ <0). Тогда из всего вышесказанного мы можем записать:

$$-\Delta E_G = \frac{GM^2}{R + \Delta R} - \frac{GM^2}{R} = 2 \cdot 4\pi \sigma R^2 T^4 \Delta t.$$

Здесь $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана. Преобразуем это выражение, учитывая, что изменение радиуса мало по сравнению с самим радиусом:

$$-\frac{GM^2\Delta R}{R^2} = 8\pi\sigma R^2 T^4 \Delta t. \tag{4}$$

Необходимо отметить, что с течением времени радиус и светимость протозвезды будет уменьшаться, и сжатие будет продолжаться все медленней. Последнее выражение можно переписать следующим образом:

$$-\frac{\Delta R}{R^4} = \Delta \left(\frac{1}{3R^3}\right) = \frac{8\pi\sigma T^4 \Delta t}{GM^2}.$$

Итак, величина $(1/R^3)$ меняется линейно со временем, то есть радиус протозвезды уменьшается пропорционально $t^{-1/3}$ . В начальный момент времени радиус протозвезды равен $R_1$ , а в конце рассматриваемого процесса он равен солнечному радиусу $R_0$ . В итоге, мы получаем искомое значение времени:

$$\Delta t = \frac{GM^2}{8\pi\sigma T^4} \left( \frac{1}{3R_0^3} - \frac{1}{3R_1^3} \right) \approx \frac{GM^2}{24\pi\sigma R_0^3 T^4} = \frac{GM^2}{6R_0 L_0} \left( \frac{T_0}{T} \right)^4 = 4 \cdot 10^7 \text{ nem.}$$

Обратим внимание, что это время практически не зависит от начальных условий, так как на ранних этапах сжатие протозвезды происходит значительно быстрее, чем в конце. В задаче в упрощенном виде была описана стадия Хаяши сжатия протозвезды перед началом термоядерного синтеза в ее недрах.

Система оценивания, максимум – 10 баллов (очередность этапов в решении участника может отличаться):

1 этап — 2 балла: оценка изначального радиуса протозвезды. Если последующее решение производится правильным методом, при котором итог фактически не зависит от этого радиуса, то для полного оценивания достаточно показать, что этот радиус существенно превосходит радиус Солнца. Если участник по ходу решения обосновывает, что искомое время сжатия практически не зависит от начального радиуса протозвезды, если он существенно больше солнечного, а в этом случае это очевидно так — данного вывода достаточно для выставления 2 баллов за первый этап.

Если же последующая оценка существенно зависит от изначального радиуса или светимости протозвезды (что само по себе ошибочно и приведет к уменьшению баллов на последующих этапах), то необходимая точность оценки радиуса составляет 20%, а при двукратной ошибке в этом случае этап не засчитывается.

Вероятная ошибка участника: неверное применение закона Стефана-Больцмана, например, с учетом только фактора размера протозвезды или фактора температуры. Если при этом делается ошибка, более чем в 2 раза — этап не засчитывается полностью, при меньших ошибках за него выставляется 1 балл.

$2 \,$ этап — $8 \,$ баллов: основная часть решения, определение требуемого времени. Оценка за этап определяется используемым методом.

Вероятные варианты неточных методов оценивания:

• 1. Расчет времени гравитационной релаксации падения протозвезды самой на себя под действием только сил гравитации. Время равно половине периода движения по вырожденной эллиптической орбите с точкой апоцентра, соответствующей начальному радиусу протозвезды. Время составляет $t = (\pi^2 R^3 / 8 GM)^{1/2} = 2.5$ суток. Учет конечного итогового радиуса меняет ответ незначительно. Этот абсурдный ответ подход оценивается 1 баллом только в случае правильного выполнения, при любых ошибках за этап выставляется 0 баллов
• 2. Приближение постоянной светимости протозвезды, равной начальному значению. Если при этом используется правильное значение гравитационной энергии, соответствующее финальному радиусу, то время получается равным $t = (GM^2/R_0L_1) = 4 \cdot 10^5$ лет. В этом случае оценка за этап не превышает 3 баллов. Если же в знаменатель подставляется первоначальное значение радиуса, что физически неверно, то время составляет около $1.5 \cdot 10^4$ лет, оценка за этап не превышает 2 баллов. Ответ может быть уменьшен в 2 раза с учетом потерь энергии на разогрев недр, в данном варианте это не влияет на оценку.
• 3. Приближение постоянной светимости протозвезды, соответствующей промежуточному значению радиуса $R_{\rm M}=R_1/2$ . Светимость составляет $L_{\rm M}=L_1/4$ . Если то же значение радиуса подставляется в формулу для энергии, то мы получаем время $t=(GM^2/R_{\rm M}L_{\rm M})=1.2\cdot 10^5$ лет, итоговая оценка за этап не превосходит 3 баллов. При подстановке в формулу для энергии конечного радиуса получаем $t=(GM^2/R_0L_{\rm M})=1.5\cdot 10^6$ лет, оценка за этап не превосходит 4 баллов. Учет фактора 2 в энергии за счет разогрева недр в этом случае на оценку не влияет.
• 4. Приближение постоянной светимости протозвезды, соответствующей окончательному значению радиуса $R_0$ . Светимость составляет $L_F = L_0 (T/T_0)^{1/4}$ . Если то же значение подставляется в формулу для энергии, то мы получаем время $t = (GM^2/R_0L_F) = 2.5 \cdot 10^8$ лет, что в 6 раз превышает истинное значение. Максимальная оценка за этап в этом случае составляет 5 баллов, если же учтены потери энергии на разогрев недр, и время еще вдвое меньше, оценка за этап составляет 6 баллов.
• 5. При верном подходе, описанном выше, оценка составляет 7 баллов, если фактор 2 от потерь энергии на разогрев недр не учтен, и время оказывается вдвое большим.
• 6. В выражении для времени не учитывается фактор $(T/T_0)^4$ , характеризующий, что протозвезда холоднее Солнца, и светимость с единицы площади у нее в 7-8 раз меньше. Это приводит к такому же уменьшению величины времени. В этом случае оценка за этап уменьшается на 3 балла, или до 0 баллов, если изначально она была менее 3 баллов.
• 7. При появлении иных неточных методов оценивается их обоснованность и конечный результат. Оценка соответствует такому из неточных методов, описанных выше, который, при отсутствии арифметических ошибок, дает эквивалентный по точности итог. При любом методе, если искомое время в существенной степени зависит от начального размера протозвезды, оценка за второй этап не может превышать 4 баллов.

Участник может задавать коэффициент $\gamma$ в выражении для энергии (формула 2), отличный от единицы. Это не влияет на оценку (хотя и изменяет ответ), если коэффициент задается от 0.6 (равномерное распределение плотности) до 1.0 (ближе к реальности для протозвезд с центральным увеличением плотности). При выходе из этого интервала оценка уменьшается на 1 балл