Для решения задачи нам нужно определить вертикальную оптическую толщину газовой (углекислой) атмосферы Марса, сравнивая ее с земной. Атмосферное давление на поверхности планеты есть

$$p = m_{\rm S}g = \frac{N_{\rm S}\mu g}{N_{\rm A}}.$$

Здесь $m_{\rm S}$ и $N_{\rm S}$ — масса и количество молекул в столбе атмосферы единичной площади, g — ускорение свободного падения на поверхности планеты, $\mu$ — молярная масса, $N_{\rm A}$ — число Авогадро. Сравнивая давления на Марсе (индекс «М») и Земле (индекс «Е»), имеем:

$$\frac{p_{\rm M}}{p_{\rm E}} = \frac{N_{\rm SM}}{N_{\rm SE}} \cdot \frac{\mu_{\rm M}}{\mu_{\rm E}} \cdot \frac{g_{\rm M}}{g_{\rm E}}.$$

Соотношение вертикальных оптических толщин газовых составляющих на Марсе и Земле есть

$$\frac{\tau_{\mathrm{M}}}{\tau_{\mathrm{E}}} = \frac{N_{\mathrm{SM}}}{N_{\mathrm{SE}}} \cdot \frac{\sigma_{\mathrm{M}}}{\sigma_{\mathrm{E}}} = \frac{p_{\mathrm{M}}}{p_{\mathrm{E}}} \cdot \frac{\sigma_{\mathrm{M}}}{\sigma_{\mathrm{E}}} \cdot \frac{\mu_{\mathrm{E}}}{\mu_{\mathrm{M}}} \cdot \frac{g_{\mathrm{E}}}{g_{\mathrm{M}}}.$$

Отношение давлений $p_{\text{M}}/p_{\text{E}}$ по условию задачи есть 0.006, отношение коэффициентов (сечений) рассеяния на одну молекулу $\sigma_{\text{M}}/\sigma_{\text{E}}$ равно 2.4, отношение молярных масс (или молекулярных весов) $\mu_{\text{E}}/\mu_{\text{M}}$ есть 29/44. Наконец, отношение ускорений свободного падения, как можно вычислить из радиусов и масс планет, есть 2.64. В итоге, мы получаем значение вертикальной оптической толщины газовой атмосферы на нулевой высоте на Марсе:

$$\tau_{\rm M} = 0.0025$$

Если Солнце находится вблизи зенита, а оптическая толщина много меньше единицы, то для определения средней яркости неба можно воспользоваться упрощением: считать, что рассеянное по вертикальному пути излучение Солнца наполовину отражается в космос, а вторая половина формирует свечение всей небесной полусферы. В этом случае суммарная звездная величина полусферы есть

$$m_{\rm HM} = m_{\rm SM} - 2.5 \lg (\tau_{\rm M}/2) = m_{\rm SE} + 5 \lg d - 2.5 \lg (\tau_{\rm M}/2) = -18.6.$$

Здесь mSM и mSE – видимая звездная величина Солнца при наблюдении с Марса и Земли соответственно, d – среднее расстояние от Солнца до Марса в астрономических единицах. Звездная величина фона с квадратной секунды (1/2062652 стерадиан) вычисляется из звездной величины полусферы (2π стерадиан):

$$m(")_{\rm M} = m_{\rm HM} + 2.5 \lg (2\pi) + 5 \lg 206265 = 10.$$

Мы получили ответ на вопрос задачи. В качестве дополнения отметим, что такой же подход к Земле дает звездную величину дневного неба с квадратной секунды: m(″)E = 5. Если учесть, что 1″ – это характерная разрешающая способность не самых больших телескопов, то полученные звездные величины будут примерно характеризовать их проницающую способность днем при небольших временах накопления сигнала. Она может быть еще улучшена для больших телескопов с длительными экспозициями. Тем самым, при хороших атмосферных условиях некоторые астрономические наблюдения вполне можно было бы проводить на Марсе днем. Если же говорить о невооруженном глазе с разрешением 1′, то звездные величины с такой площади неба на Земле и Марсе оказываются равными –4m и +1m соответственно, то есть на Земле мы можем видеть глазом днем только Венеру, а на Марсе при чистой атмосфере смогли бы наблюдать самые яркие звезды.

Система оценивания. Решение задания условно разбивается на два этапа, в каждом из которых участник должен учесть ряд факторов, различающихся на Земле и Марсе, и окончательного вывода. Пропуск или некорректный учет одного фактора приводит к снятию баллов, связанных с данным конкретным фактором, но не влияет на другие составляющие оценки. И только если совокупность ошибок выводит окончательный ответ за указанные далее рамки, не выставляются баллы за окончательный ответ.

Этап 1 (5 баллов) – определение вертикальной оптической толщины газовой атмосферы на Марсе:

Фактор 1 – разность давлений на Земле и Марсе (1 балл);

Фактор 2 – разность молекулярного веса атмосферы на Земле и Марсе (1 балл);

Фактор 3 – разность сечения рассеяния на одну молекулу на Земле и Марса (1 балл);

Фактор 4 – разность ускорения силы тяжести на Земле и Марсе (2 балла).

Если все факторы учтены физически корректно, но итоговая оптическая толщина получилась ошибочной из-за неверных вычислений, общая оценка уменьшается на 1 балл при ошибке от 1.3 до 2 раз, на 2 балла при ошибке от 2 до 4 раз, на 3 балла при большей ошибке. При наличии пропущенных или некорректно учтенных факторов ответ нужно сравнивать с тем, что получился бы при данных физических недочетах с правильным вычслением.

Этап 2 (5 баллов) – вычисление звездной величины фона неба на Марсе с угловой секунды. Участники могут предлагать свои подходы к приближенному решению задачи, которые должны оцениваться исходя из своей обоснованности и корректности результата. Общая схема оценивания этапа следующая:

Фактор 1 – правильная видимая звездная величина Солнца с учетом большего расстояния Марса (2 балла);

Фактор 2 – учет ухода части излучения в космическое пространство (2 балла);

Заключительный расчет – 1 балл. Данный балл выставляется при соблюдении двух условий: правильных вычислений собственно звездной величины на основе выражения, составленного участником на предыдущих этапах (оно может быть само по себе неточным) и допустимой погрешности по сравнению с правильным ответом (не более ±2m, вне зависимости от причины погрешности).