Если бы Луна не перемещалась на небе относительно далеких звезд, то для ее наблюдений был бы эффективен тот же режим, что и для наблюдений звезд: телескоп вращается относительно полярной оси с угловой скоростью ω0 = –ωE, где ωE – угловая скорость суточного вращения Земли. Обратим внимание, что угловая скорость ω0 отрицательна, то есть в северном полушарии Земли вращение телескопа происходит по часовой стрелке. Однако, Луна перемещается относительно звезд с угловой скоростью ωL. Если бы ее движение происходило вдоль небесного экватора, то для наблюдений было бы достаточно сделать угловую скорость вращения телескопа равной ω0 + ωL = ωL – ωE. Такая схема реализуется в виде «лунной скорости» ведения на некоторых телескопах. Однако, Луна движется в ином направлении, и при режиме «лунной скорости» необходимы также коррекции вдоль круга склонения.

Однако, если считать, что орбитальное движение Луны происходит равномерно по какомулибо фиксированному большому кругу небесной сферы (мы можем так считать, исходя из условия задачи), и оба вращения происходят вокруг наблюдателя (параллаксом Луны мы пренебрегаем по условию задачи), то мы можем использовать аналогичную схему, только теперь угловые скорости нужно рассматривать как векторные величины.

Для любого фиксированного момента времени перемещение Луны по небу относительно наблюдателя на поверхности Земли есть сложение видимого вращения небесной сферы ( $\omega_0$ ), вектор направлен к южному полюсу мира, и орбитального вращения Луны ( $\omega_L$ ), вектор направлен к северному полюсу эклиптики. Для модуля вектора результирующей угловой скорости имеем:

$$\omega = \sqrt{\omega_0^2 + \omega_L^2 - 2\omega_0\omega_L\cos\varepsilon}.$$

Модуль угловой скорости $\omega_0$ равен 360° за звездные сутки, то есть 15.041°/час. Угловая скорость $\omega_L$ равна 360° за сидерический период Луны или 0.549°/час, угол $\epsilon$ есть наклон экватора к эклиптике. В итоге мы получаем требуемое значение угловой скорости: 14.539°/час.

Чтобы определить координаты проекции оси на небе, обратим внимание, что эта ось находится в одной плоскости с осью мира и осью эклиптики, но наклонена к оси мира в сторону, противоположную наклону оси эклиптики. Соответствующий угол $\beta$ мы можем определить из теоремы синусов:

$$\frac{\sin\beta}{\omega_{\rm I}} = \frac{\sin\epsilon}{\omega},$$

откуда $\beta=51.7'$ . Вектор угловой скорости телескопа направлен в южное небесное полушарие, в точку с координатами $\alpha=18$ ч ровно, $\delta=-89^{\circ}08'$ . Эти координаты можно записать в виде ответа, хотя более логичным было бы указать в качестве проекции оси противоположную точку неба: $\alpha=06$ ч ровно, $\delta=+89^{\circ}08'$ , коль скоро мы находимся в северном полушарии. Интересно, что эта точка оказывается на небе чуть ближе к Полярной звезде, чем сам полюс мира. Мы получили ответ на оба вопроса задания.

Теоретически, при выполнении условия задачи подобный подход обеспечил бы равенство мгновенных угловых скоростей Луны и телескопа по модулю и направлению, вне зависимости от положения Луны на орбите и звездного времени в пункте наблюдения, и практически идеальное ведение в начале наблюдений. На графике показана зависимость ошибки ведения телескопа от времени по Луне при обычной работе часового механизма, «лунной скорости» и описанного выше метода, в последнем случае — для двух положений Луны. В первых двух случаях ошибка растет линейно со временем t, а в последнем — пропорционально $t^2$ или даже $t^3$ .

В конечном итоге точность ведения ухудшается, так как путь Луны не является большим либо малым кругом небесной сферы, и точка (α, δ), к которой направлена ось телескопа, сама медленно смещается в ходе суточного движения небесной сферы. Тем не менее, на интервале времени до часа мы получаем более чем 10-кратный выигрыш по точности при Луне вблизи точек солнцестояний и 100-кратный – вблизи точек равноденствий. В реальных условиях точность была бы также ограничена эллиптичностью орбиты Луны и ее наклоном к плоскости эклиптики, хотя эти факторы можно учесть соответствующим изменением угловой скорости и координат проекции оси.

Система оценивания. Решения данного задания в исполнении участников могут существенно отличаться друг от друга и от приведенного выше решения, что совершенно не означает их неправильность. Участники могут не оперировать векторами угловых скоростей и пользоваться иными способами поиска точки проекции оси на небесную сферу. В частности, можно брать четыре основных положения Луны на эклиптике (точки равноденствий и солнцестояний), строить большие круги небесной сферы, перпендикулярные пути движения Луны по небесной сфере в этих точках, и искать точку пересечения больших кругов. При правильном исполнении и ответе, который в этом случае должен получиться таким же, такое решение оценивается полностью.

Решение разделяется на два основных этапа, связанные с поиском величины и направления угловой скорости:

• 1 этап (5 баллов) поиск величины угловой скорости вращения телескопа. Оценка определяется правильности модели и учетом всех факторов:
• a) Угловая скорость просто приравнивается к 15° в час этап не засчитывается;
• b) Учитывается разница солнечных и звездных суток, угловая скорость 15.041° в час 1 балл;
• c) Учитывается движение Луны по орбите, которое считается просто противоположным суточному вращению небесной сферы, причем последнее считается равным 15° в час. Ответ составляет 14.451°. Оценка за этап – 2 балла, если берется правильный период обращения Луны – сидерический, в противном случае оценка уменьшается на 1 балл;
• d) То же, но учитывается разность звездных и средних солнечных суток, угловая скорость вращения небесной сферы составляет 15.041°, итоговый ответ 14.492°. Оценка за этап – 3 балла, если берется правильный период обращения Луны – сидерический, в противном случае оценка уменьшается на 1 балл;
• e) Решение с учетом разных осей вращения Луны и небесной сферы, при котором ответ совпадает с правильным с требуемой точностью не хуже 0.02° в час. При ошибках, связанных с неверным сложением векторов (неправильный учет угла между ними и т.д.) оценка уменьшается до 4 баллов при итоговой погрешности 0.02-0.04° в час, до 3 баллов – при погрешности не более 0.04-0.1° в час (фактически, эквивалентно погрешностям описанных выше неточных подходов).

Если участник записывает ответ с недостаточным количеством значащих цифр, что может вывести его за рамки допустимых погрешностей, членам жюри необходимо уточнить его на основе тех выкладок, что делались участником для получения этого ответа, что и определяет оценку.

• 2 этап (5 баллов) нахождение координат проекции оси на небесную сферу. Участник может приводить координаты как северной, так и южной проекции, что эквивалентно в плане оценивания:

• a) Северный или южный полюс эклиптики, что означает погрешность более 24° этап не засчитывается;

• b) Северный или южный полюс мира оценка 1 балл.

• c) Попытка вычислить координаты точки оси на основе суперпозиции угловых скоростей, при которой ошибка определения превосходит 2° – оценка 2 балла.

• d) Правильное угловое расстояние оси от полюса мира (порядка 1°), но неверно указано направление отклонения (например, 6ч, –89° или 18ч, +89°) – оценка 3 балла.

• e) Правильный подход и верный ответ с точностью до 0.2° (в частности, 6ч, +89° или 18ч, –89°) – оценка 5 баллов, при отклонениях до 0.5° – оценка 4 балла.

Возможное ошибочное решение: вместо векторов ω0 и ωL участник складывает вектора ωE (противоположный ω0) и ωL, то есть путает направления вращения Земли и вращения небесной сферы. При правильном математическом исполнении участник в этом случае получит значение угловой скорости вращения телескопа 15.546°/час, а координаты оси: α = 18ч, δ = +89°12′ – обратим внимание, что ось в этом случае оказывается с другой стороны от Северного полюса мира. При таком решении за первый этап выставляется 2 балла, за второй этап – 3 балла (вариант d, описанный выше), максимум за все решение – 5 баллов.