Пусть r — расстояние малого тела от Солнца в указанный момент. Тогда его расстояние от Земли есть $r_0 - r$ , где $r_0$ — радиус орбиты Земли. Геоцентрическая скорость тела есть $\omega(r_0 - r)$ , где $\omega$ — гелиоцентрическая угловая скорость тела, заданная в условии. Так как аппарат находится в перигелии или афелии, он не имеет продольной скорости относительно линии «Солнце — Земля» как в геоцентрической, так и в гелиоцентрической скорости. Гелиоцентрическая скорость аппарата есть его геоцентрическая скорость, сложенная с орбитальной скоростью Земли по теореме Пифагора:

$$v^2 = \omega^2 (r_0 - r)^2 + v_0^2 = \omega^2 (r_0 - r)^2 + \frac{GM}{r_0}.$$

Так как тело находится в перигелии или афелии, его гелиоцентрическая скорость связана с эксцентриситетом как

$$v^2 = \frac{GM}{r}(1 \pm e).$$

Здесь знак «+» относится к перигелию, «-» – к афелию. Формула справедлива как для эллиптических, так и параболических и гиперболических орбит. Тогда мы можем записать выражение для эксцентриситета, считая его отрицательным в случае афелия:

$$e = \frac{v^2 r}{GM} - 1 = \frac{r\omega^2 (r_0 - r)^2}{GM} + \frac{r}{r_0} - 1.$$

Для упрощения расчетов мы можем ввести расстояние $r_{\rm C}$ , на котором скорость $\omega$ есть скорость движения по круговой орбите. Оно определяется как:

$$r_C = \left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^{2/3} = 0.43 \ a.e.$$

Здесь $\omega_0$ – угловая скорость орбитального вращения Земли. Тогда для эксцентриситета мы имеем:

$$e = \frac{r(r_0 - r)^2}{r_C^3} + \frac{r}{r_0} - 1.$$

Определяем величины эксцентриситета для пяти интересующих нас расстояний r:

Получаем, что все пять тел находились в перигелии своих орбит, а у двух из них эти орбиты – гиперболические.

E, A, D, C, B.

Алгоритм оценивания. Оценка определяется числом правильных пар в ответе участника аналогично заданию 1.

9/10/11.5. ТРОЙНОЙ ТРАНЗИТ TRAPPIST

(М.И. Волобуева, независимая идея – В.Б. Игнатьев)