№ 9.7 / 10.7 / 11.7ЗВЕЗДНЫЕ СОСЕДИ
Условие. В таблице приведены данные о звездах, расположенных в Галактике недалеко от Солнца: их болометрическая звездная величина при наблюдении с Земли и эффективная температура. Расположите эти звезды в порядке возрастания расстояния от Солнца — от самой близкой до самой далекой. При решении считать, что для этих звезд и Солнца светимость пропорциональна массе в четвертой степени, а радиус — массе в первой степени.
| Звезда | $m_{\mathrm{b}}$ | T, K | |
|---|---|---|---|
| Α | Альтаир | 0.8 | 8000 |
| В | τ Кита | 3.3 | 5350 |
| С | ε Эридана | 3.4 | 5100 |
| D | 51 Пегаса | 5.3 | 5800 |
| Е | Звезда Барнарда | 6.3 | 3130 |
Решение
По закону Стефана-Больцмана, светимость звезды L пропорциональна квадрату радиуса и четвертой степени температуры: $L \sim R^2 T^4$ . Для приведенных в условии задачи звезд она также пропорциональна массе в четвертой степени $L \sim M^4$ . Сама же масса пропорциональна радиусу: $M \sim R$ . В итоге, мы имеем:
$$L \sim R^4$$ : $L \sim R^2 T^4$ .
Отсюда мы получаем, что $R \sim T^2$ и, в конечном итоге $L \sim T^8$ . Абсолютная болометрическая звездная величина звезды равна
$$m_{\rm b0} = m_{\rm bS} - 20 \lg (T/T_{\rm S}),$$
где $T_{\rm S}$ — эффективная температура Солнца (5800 K), $m_{\rm bS}$ — его абсолютная болометрическая звездная величина. Расстояние до звезды в парсеках есть
$$\lg r = 1 + \frac{m_b - m_{b0}}{5}.$$
В данном случае нам даже не нужно вычислять сами расстояния, достаточно определить разности ( $m_b-m_{b0}$ ) и расставить звезды в порядке их возрастания. Результаты представлены в таблице. Там же приведены вычисленные в рамках предположений условия задачи и реальные расстояния $r_{\rm C}$ до этих звезд.
| Звезда | $m_{\mathrm{b}}$ | T, K | $m_{\mathrm{b}0}$ | $m_{\rm b} - m_{\rm b0}$ | r , пк | $r_{\rm C}$ , пк | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Α | Альтаир | 0.8 | 8000 | 1.9 | -1.1 | 6.0 | 5.2 |
| В | τ Кита | 3.3 | 5350 | 5.4 | -2.1 | 3.8 | 3.7 |
| С | ε Эридана | 3.4 | 5100 | 5.8 | -2.4 | 3.3 | 3.2 |
| D | 51 Пегаса | 5.3 | 5800 | 4.7 | 0.6 | 13.1 | 15.0 |
| Е | Звезда Барнарда | 6.3 | 3130 | 10.1 | -3.8 | 1.8 | 1.8 |
Ответ
E, C, B, A, D.
Алгоритм оценивания. Оценка определяется числом правильных пар в ответе участника аналогично заданию 1.