Вначале обратим внимание на один важный факт: угловая скорость объекта $\bf A$ при наблюдении с объекта $\bf B$ равна по величине и знаку угловой скорости объекта $\bf B$ при наблюдении с объекта $\bf A$ — это есть угловая скорость вращения линии, содержащей отрезок $\bf A \bf B$ . То же самое можно сказать о лучевой скорости. Поэтому в задаче будет два решения, в которых объекты $\bf A$ и $\bf B$ меняются местами. Предположим для определенности, что объект $\bf B$ находится дальше от Солнца, чем объект $\bf A$ .

Еще один важный факт состоит в том, что в моменты, когда лучевая скорость равна нулю (1 и 2 на рисунке) — очевидно, что это моменты соединения или противостояния объектов с Солнцем — угловые скорости имеют разный знак. При этом угловая скорость прямого движения $\omega_1$ по модулю больше, чем в случае попятного движения $\omega_2$ . Это может быть в том случае, если оба тела вращаются вокруг Солнца в одном направлении. Запишем выражения для этих угловых скоростей:

$$\omega_{1} = \frac{v_{B} + v_{A}}{r_{B} + r_{A}} = \sqrt{GM} \frac{r_{B}^{-1/2} + r_{A}^{-1/2}}{r_{B} + r_{A}},$$

$$\omega_{2} = \frac{v_{B} - v_{A}}{r_{B} - r_{A}} = \sqrt{GM} \frac{r_{B}^{-1/2} - r_{A}^{-1/2}}{r_{B} - r_{A}}.$$

Здесь M — масса Солнца, $r_{\rm A}$ и $r_{\rm B}$ — радиусы орбит тел, а $v_{\rm A}$ и $v_{\rm B}$ — их орбитальные скорости в инерциальной системе координат. Из графика имеем: $\omega_1 = 0.129^{\circ}/{\rm сут}, \ \omega_2 = -0.066^{\circ}/{\rm сут}.$ Запишем выражение для отношения этих угловых скоростей (обратим внимание, что оно отрицательно):

$$K \equiv \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{r_{B}^{-1/2} + r_{A}^{-1/2}}{r_{B} + r_{A}} \cdot \frac{r_{B} - r_{A}}{r_{B}^{-1/2} - r_{A}^{-1/2}} = \frac{r_{B}^{-1/2} r_{A}^{-1/2} (r_{A}^{1/2} + r_{B}^{1/2})}{r_{B} + r_{A}} \cdot \frac{r_{B} - r_{A}}{r_{B}^{-1/2} r_{A}^{-1/2} (r_{A}^{1/2} - r_{B}^{1/2})}.$$

Величина K составляет -1.95. Раскладывая множитель $(r_{\rm B}-r_{\rm A})$ как разность квадратов, имеем:

$$K = \frac{(r_A^{1/2} + r_B^{1/2})}{r_B + r_A} \cdot (r_A^{1/2} + r_B^{1/2}) = \frac{r_A + r_B + 2\sqrt{r_A r_B}}{r_A + r_B}.$$

Введем для простоты обозначение:

$$x = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$$

и заметим, что по нашему предположению x > 1. Тогда получаем

$$K = \frac{1+x^2+2x}{1+x^2}$$ ; $x^2(K-1)-2x+(K-1)=0$ .

В соответствии с нашим предположением, выбираем больший корень уравнения:

$$x = \frac{1 + \sqrt{1 - (K - 1)^2}}{K - 1} = 1.38.$$

Отметим, второй корень оказывается равен обратной величине от первого, отражая отмеченное нами свойство неизменности угловых скоростей при перестановке тел $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ .

Перейдем в систему отсчета, в которой объект ${\bf B}$ неподвижен, а объект ${\bf A}$ движется по орбите с постоянной угловой скоростью, соответствующей разности угловых скоростей орбитального вращения тел: $\Omega = \Omega_A - \Omega_B$ . Очевидно, угловые скорости видимого движения тел в небе в этой системе отсчета будут другими, и мы не можем рассматривать их в прямом соответствии с заданной диаграммой. Но вот лучевые скорости останутся теми же.

Очевидно, что лучевая скорость $v_R$ (мы не ставим здесь индекс A или B в соответствии со сказанным выше) будет максимальна по модулю, если в этой системе отсчета тело A движется точно к телу B или точно от него, то есть находится в наибольшей элонгации. Запишем выражение для максимальной лучевой скорости:

$$v_R = \Omega \cdot r_A = r_A \left( \sqrt{\frac{GM}{r_A^3}} - \sqrt{\frac{GM}{r_B^3}} \right) = \sqrt{\frac{GM}{r_A}} \cdot \left( 1 - \frac{1}{x^3} \right).$$

Величину $v_R$ мы можем определить из графика, она равна 11 км/с (точное значение - 11.05 км/с). Отсюда мы определяем значения радиусов орбит тел:

$$r_A = \frac{GM}{v_R^2} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^3}\right)^2 = r_0 \frac{v_0^2}{v_R^2} \cdot \left(1 - \frac{1}{x^3}\right)^2 = 2.75 \text{ a.e.}; \quad r_B = r_A x^2 = 5.2 \text{ a.e.}$$

Здесь $v_0$ — орбитальная скорость Земли, $r_0$ — радиус орбиты Земли (астрономическая единица). Очевидно, проводились наблюдения Юпитера с астероида главного пояса.

Выше приведен один из способов решения. Существуют и другие, которые объединяются одним общим свойством: из графика мы получаем два независимых параметра, которые в итоге дают нам систему уравнений для определения двух неизвестных $r_{\rm A}$ и $r_{\rm B}$ . Один из них связан со следующим свойством: в момент максимума модуля лучевой скорости $v_{\rm R}$ объект с меньшим радиусом орбиты (в соответствии со сделанным выше предположением, пусть это будет ${\bf A}$ ) находится в небе объекта ${\bf B}$ в наибольшей элонгации. В это время объект ${\bf A}$ сохраняет постоянное угловое расстояние от Солнца, а так как движение обоих тел происходит по круговым орбитам в одной плоскости, то угловая скорость объекта ${\bf A}$ в небе объекта ${\bf B}$ , она же — угловая скорость объекта ${\bf A}$ в небе объекта ${\bf B}$ , равна угловой скорости Солнца в небе объекта ${\bf B}$ :

$$\omega_{E} = \Omega_{B} = \sqrt{\frac{GM}{r_{B}^{3}}} = \Omega_{0} \sqrt{\frac{r_{0}^{3}}{r_{B}^{3}}} = 0.083^{\circ} / cym.$$

Здесь $\Omega_0$ — орбитальная угловая скорость Земли (0.986°/сут). Отсюда мы сразу получаем радиус орбиты внешнего тела:

$$r_B = r_0 \cdot \left(\frac{\Omega_0}{\Omega_B}\right)^{2/3} = 5.2 \ a.e.$$

Далее мы можем воспользоваться данными о величинах угловой скорости в соединении и противостоянии объекта ${\bf B}$ при наблюдении с объекта ${\bf A}$ . Как уже было отмечено выше, они равны

$$\omega_{1} = \frac{v_{B} + v_{A}}{r_{B} + r_{A}} = \sqrt{GM} \frac{r_{B}^{-1/2} + r_{A}^{-1/2}}{r_{B} + r_{A}},$$

$$\omega_2 = \frac{v_B - v_A}{r_B - r_A} = \sqrt{GM} \frac{r_B^{-1/2} - r_A^{-1/2}}{r_B - r_A}.$$

Перемножим их друг на друга:

$$\omega_{1}\omega_{2} = GM \frac{(r_{B}^{-1/2} + r_{A}^{-1/2}) \cdot (r_{B}^{-1/2} - r_{A}^{-1/2})}{(r_{B} + r_{A}) \cdot (r_{B} - r_{A})} = GM \frac{r_{B}^{-1} - r_{A}^{-1}}{r_{B}^{2} - r_{A}^{2}} = -\frac{GM}{r_{A}r_{B}(r_{A} + r_{B})} \equiv Q.$$

Эта величина нам известна ( $-8.51\cdot10^{-3}$ ° $^2$ /сут $^2$ ). Нам остается найти $r_A$ . Для этого запишем последнюю формулу в виде квадратного уравнения относительно этой величины:

$$r_A^2 r_B + r_A r_B^2 + \frac{GM}{Q} = 0.$$

Решая его, мы выбираем положительный корень $r_A$ :

$$r_A = \frac{-r_B^2 + \sqrt{r_B^4 - 4GM r_B/Q}}{2r_B} = 2.75 \text{ a.e.}$$

Система оценивания. Выше приведен один ИЗ способов решения представляющийся наиболее простым. Участники могут использовать другие способы, которые могут быть сопряжены со сложными математическими выкладками, тем не менее необходимо четко проверять их корректность. Вне зависимости от способа, для решения и определения двух неизвестных величин $(r_A \ u \ r_B)$ с графика необходимо снять два параметра. При способе, описанном выше, это отношение угловых скоростей в соединении и противостоянии (K) и максимальный модуль угловой скорости $(v_R)$ . Возможно использование величин угловых скоростей $\omega_1$ и $\omega_2$ по отдельности, и тогда ответ можно получить, даже не привлекая данных о лучевых скоростях. При использовании пути решения, описанного выше, система оценивания следующая:

1 этап — 1 балл. Обоснование, что объекты движутся по орбитам в одном направлении. Он может быть сделан на основе модулей прямой и попятной угловой скорости в моменты, когда лучевая скорость обращается в ноль. Участник может не делать этот вывод, но тогда ему необходимо рассматривать случай противоположных направлений вращения по ходу дальнейшего решения, доказывая, что его не может быть в данных условиях. Если участник сразу рассматривает только сонаправленное вращение двух тел, не обосновывая такой выбор — данный 1 балл не выставляется, последующие оцениваются в полной мере.

2 этап – 5 баллов. Определение и анализ отношения угловых скоростей в соединении и противостоянии. Этап предполагает правильное экспериментальное определение этой величины. Максимальная погрешность 0.05, диапазон правильных значений, при котором возможно дальнейшее решение данным способом: от –1.9 до –2.0. Это оценивается в 2 балла.

При погрешностях до 0.15 выставляется 1 балл). При вычислении обратной величины максимальная погрешность составляет 0.02, при погрешности до 0.05 выставляется 1 балл). Кроме этого, участник должен правильно связать эту величину с радиусами орбит и их отношением (3 балла).

3 этап – 5 баллов. Аналогично предыдущему этапу, должен быть правильно измерен другой наблюдательный параметр (2 балла). В случае максимальной лучевой скорости допустимая погрешность составляет 0.2 км/с (1 балл при погрешности до 0.4 км/с). Далее должна быть восстановлена верная связь этого параметра с искомыми величинами (3 балла).

4 этап – 4 балла (2+2). Определение радиусов орбит обоих тел. Максимальная погрешность (без учета ошибок на предыдущих этапах) – 0.1 а.е. для ближнего и 0.2 а.е. для дальнего тела. Если решение велось способом, описанным выше (первым), то на оценку за этот этап не влияет погрешность определения величины K, если она оказалась близка к –2.