С первого поверхностного взгляда может показаться, что система состоит из двух одинаковых звезд, которые каким-то образом двигаются вокруг общего центра масс. Однако такая простая картина сразу вступает в противоречие с наблюдательными фактами. Длина волны первой линии в течение 180 дней наблюдений меняется крайне слабо, примерно на 0.001 А, то есть лучевая скорость этой звезды практически постоянна. А вот вторая звезда успевает ее существенно изменить, более того, проходит целый цикл ее колебания в пределах порядка 1А, то есть в 1000 раз сильнее, чем изменения длины волны первой компоненты.

По условию задачи, все компоненты, входящие в эту систему, имеют равные массы. Получается, что центр масс системы только из данных двух звезд за время наблюдений успел заметно изменить лучевую скорость относительно наблюдателя, что противоречит условию задачи. Таким образом, двумя звездами, создающими линии Нα в спектре, система не исчерпывается.

Действительно, изменение длины волны звезды 2 можно интерпретировать как ее вращение вокруг общего центра масс с еще одним телом, которое по каким-то причинам либо не излучает свет, либо не содержит линию $H\alpha$ в своем спектре. По условию задачи, масса этого тела m такая же, как и у звезд 1 и 2. На графике мы видим, что во временной диапазон наблюдений попали два максимума и минимум длины волны, период $T_2$ составляет около 170 суток или 0.465 года. Амплитуда изменения длины волны по отношению к среднему значению $\Delta\lambda_2$ составляет около 0.44A. Отсюда мы находим амплитуду лучевой скорости звезды 2 и ее компаньона (назовем его звездой 3) с такой же массой:

$$v_{L2} = c \frac{\Delta \lambda_2}{\lambda_2} = 20 \ \kappa \text{M/c}.$$

Мы не знаем, как ориентирована орбита системы 2-3 относительно наблюдателя. Обозначим угол между ее плоскостью и лучом зрения как $i_2$ . Тогда полная скорость каждой из компонент есть $v_2 = v_{\rm L2} / \cos i_2$ . Звезды 2 и 3 с массой M каждая движутся по одинаковой круговой орбите на расстоянии $a_2$ друг от друга, радиус их орбит есть $a_2/2$ . Таким образом,

$$\frac{GM^2}{a_2^2} = \frac{2Mv_{L2}^2}{a_2\cos^2 i_2}; \quad \frac{v_{L2}T}{\cos i_2} = \pi a_2.$$

Отсюда мы получаем

$$M = \frac{2v_{L2}^3 T_2}{\pi G \cos^3 i_2} = \frac{1.1 \cdot 10^{30} \text{ K2}}{\cos^3 i_2}.$$

Это же выражение можно получить из III закона Кеплера, только нужно обратить внимание, что $v_{\rm L2}$ – это лучевая скорость одной компоненты, а не разница скоростей двух компонент (при подстановке $a_2 = v_{\rm L}T/2\pi$ мы получим ошибку сразу в 8 раз!). Минимально возможная масса каждой из звезд 2 и 3 составляет чуть более половины массы Солнца, тогда суммарная масса этой двойной системы составила бы 1.1 масс Солнца. Минимальное расстояние между компонентами 2 и 3 ( $a_2$ ) составляет примерно 0.6 а.е.

Но мы не должны забывать, что в системе есть еще по крайней мере одна компонента, звезда 1, с такой же массой, как у компонент 2 и 3. По оптическим свойствам она, по-видимому, похожа на звезду 2. Более того, предположение, что она тоже имеет массу 0.55 масс Солнца, а суммарная масса равна 1.65 масс Солнца, тоже противоречит наблюдениям. Обратим внимание, что длина волны линии На в спектре звезды 1 совпадает с максимальной длиной волны этой линии в спектре звезды 2, когда последняя движется от наблюдателя в ходе вращения в системе со звездой 3. Иными словами, звезда 1 имеет значительную скорость по отношению к центру масс системы 2-3.

По условию задачи, система гравитационно связана, орбиты в ней круговые, а все тела имеют одинаковую массу. Лучевая скорость звезды 1 относительно центра масс системы 2-3 по величине совпадает с амплитудой лучевой скорости звезды 2 – 20 км/с. Скорость звезды 1 меняется мало, и мы можем считать, что она не участвует в быстром вращении с еще какойлибо массивной звездой (вспомним, что мы должны оценить минимальную массу системы). Маломассивных тел в системе нет по условию задания. Поэтому будем далее рассматривать систему как тройную. Звезда 1 вдвое меньше по массе, чем система 2-3. Поэтому длина волны, соответствующая лучевой скорости центра масс всей тройной системы, есть:

$$\lambda_C = \frac{\lambda_1 + 2\lambda_2}{3} = \lambda_1 - \frac{2\Delta\lambda_2}{3}.$$

Длина волны линии в спектре звезды 1 должна совершать синусоидальные колебания относительно $\lambda_{\rm C}$ . Мы видим лишь их малый участок, что связано с большим периодом $T_1$ обращения звезды 1 относительно центра масс системы. Оценить его могло быть затруднительно, но по счастью, в середину интервала попал максимум длины волны $\lambda_1$ . На краях интервала (сдвиг времени $\pm T_2/2$ ) длина волны уменьшается на величину $\Delta\lambda_1$ . Тогда справедливо соотношение:

$$\begin{split} \lambda_{1} - \Delta \lambda_{1} &= \lambda_{C} + (\lambda_{1} - \lambda_{C}) \cos \frac{2\pi \cdot T_{2}/2}{T_{1}}; \\ \Delta \lambda_{1} &= (\lambda_{1} - \lambda_{C}) \cdot \left(1 - \cos \frac{\pi \cdot T_{2}}{T_{1}}\right) \approx \frac{2\Delta \lambda_{2}}{3} \cdot \frac{\pi^{2} T_{2}^{2}}{2T_{1}^{2}}. \end{split}$$

Величина $\Delta\lambda_1$ очень мала. Ее приближенная оценка по графику дает 0.0007 А. Отсюда мы получаем оценку орбитального периода звезды 1:

$$T_1 = \pi T_2 \sqrt{\frac{\Delta \lambda_2}{3\Delta \lambda_1}} \approx 20 \text{ nem.}$$

Амплитуда изменения лучевой скорости звезды 1 есть:

$$v_{L1} = c \frac{2\Delta\lambda_2}{3\lambda_C} = \frac{2v_{L2}}{3}.$$

Аналогично действиям выше, описываем движение звезды 1 с массой M, удаленной от системы звезд 2-3 с суммарной массой 2M на расстояние $a_1$ . Учитываем, что сама звезда 1 движется по кругу радиусом $2a_1/3$ :

$$\frac{2GM^2}{a_1^2} = \frac{3Mv_{L1}^2}{2a_1\cos^2 i_1}; \quad \frac{v_{L1}T_1}{\cos i_1} = \frac{4\pi a_1}{3}.$$

Здесь $i_1$ – угол между лучом зрения и плоскостью орбиты звезды 1. Отсюда получаем оценку для массы компоненты:

$$M = \frac{9v_{L1}^{3}T_{1}}{16\pi G \cos^{3}i_{1}} = \frac{v_{L2}^{3}T_{1}}{6\pi G \cos^{3}i_{1}} = \frac{4\cdot10^{30} \ \kappa e}{\cos^{3}i_{1}}.$$

В итоге, даже при орбитах, расположенных на луче зрения, масса одной компоненты не меньше 2 масс Солнца. Это более сильное ограничение, чем мы получили при анализе движения системы 2-3. Очевидно, что угол наклона этой системы $i_2$ к лучу зрения значителен:

$$i_2 \ge \arccos\left(\frac{1}{4}^{1/3}\right) = 50^\circ.$$

Оговоримся, что оценка этого угла не входит в задание. Тем не менее, она позволяет правильно понять конфигурацию этой системы (рисунок) для случая минимальной общей массы, которая, таким образом, составляет 6 масс Солнца. Добавим также, что расстояние между звездами 2 и 3 при таком наклоне составляет около 1 а.е.

Нам осталось понять, что за звезды входят в систему. Две звезды с массой 2 массы Солнца и линией Нα в спектре – скорее всего, звезды главной последовательности класса А типа Веги. У таких звезд линии бальмеровской серии в спектре наиболее интенсивные. Для третьей звезды есть две принципиальные возможности: либо эта звезда темная, либо она не содержит линию Нα в спектре. В первом случае вполне естественно предположение о компактном объекте, скорее всего – нейтронной звезде. Это точно не белый карлик, так как масса превышает максимум для такого типа звезд. Возможен также вариант космологической (возрастной) черной дыры, собравшей вокруг себя кратную систему.

Если же тело 3 все же является нормальной звездой, то линий бальмеровской серии у нее может не быть в двух противоположных случаях — либо звезда очень горячая, и ее водород полностью ионизован, либо холодная, и атомы водорода находятся на первом энергетическом уровне, не поглощая бальмеровские кванты света. В первом случае это не

может быть обычная звезда на главной последовательности, так как такие звезды с массой 2 массы Солнца не могут быть горячее класса A. Но это может быть гелиевая звезда, лишенная своей водородной оболочки другой компонентой кратной системы.

Вариант же холодной звезды с такой массой был бы возможен в виде красного гиганта с большим радиусом. Однако такой объект вряд ли смог бы существовать на орбите со звездой главной последовательности спектрального класса A в 1 а.е. друг от друга. Итак, наиболее вероятный кандидат на роль тела 3 – нейтронная звезда.

1 этап – 2 балла. Вывод о наличии третьего тела в системе. Он должен быть обоснован одним из двух факторов – быстрым вращением звезды 2, в котором не участвует звезда 1, или движением центра масс звезд 1-2 относительно наблюдателя с переменной лучевой скоростью. Если третье тело фигурирует в решении задачи без хотя бы одного из этих двух обоснований – этап оценивается 1 баллом, остальные оцениваются в полной мере.

Замечание: любое решение задачи, в которой в системе есть только две звезды, оценивается не выше 2 баллов.

2 этап – 4 балла. Оценка минимальной массы одной звезды на основе быстрого вращения звезды 2. Требуемая точность – 0.1 масса Солнца.

Вероятная ошибка участника: использование радиуса орбиты одной звезды вместо расстояния между ними в III законе Кеплера, что в итоге дает 8-кратную ошибку. Этап оценивается не выше 1 балла.

Замечание: полученное в этом этапе ограничение массы звезд снизу не оказалось решающим. Ее можно далее использовать для определения угла наклона орбиты к лучу зрения, но и это не является необходимым в решении. Тем не менее, выполнение этого этапа обязательно, так как факт, что данное ограничение массы оказалось более мягким, чем следующее, не является очевидным.

3 этап – 5 баллов. Оценка минимальной массы одной звезды на основе движения звезды 1. Требуемая точность – 0.4 массы Солнца.

Замечание по точности: базовым экспериментальным фактом, используемым здесь, является крайне малое изменение длины волны линии первой звезды. Однако, эта величина (1) входит в итоговое выражение в степени (–1/2), что позволяет определить массу звезды с точностью не хуже 20%.

Вероятная ошибка участника: использование радиуса орбиты звезды 1 вместо расстояния до центра системы 2-3 в III законе Кеплера, что в итоге дает ошибку в 3 с лишним раза. Этап оценивается не выше 2 баллов.

Вероятная ошибка участника: неправильное определение радиуса орбиты звезды 1 и ее орбитальной скорости (например, фактор 1/2 или 1/3 вместо 2/3 в соответствующих формулах). Этап оценивается не выше 2 баллов.

4 этап – 1 балл. Вывод о минимальной суммарной массе системы. Оценивается только при правильном ответе с точностью до 20%.

Вероятное неверное выполнение этапов 2-4: участник опускает факторы cos i при анализе движения тел 2 и 1. Полученные значения масс интерпретируются не как минимальные, а как точные. В этом случае разность масс на 2 и 3 этапах может трактоваться как погрешность измерений или ошибок в вычислениях. Как возможное следствие, участник может выбрать значение массы одной звезды 0.55 масс Солнца (2 этап), так как оно меньше, а в условии требуется найти минимальное значение суммарной массы. В этом случае этапы 2 оценивается в 2 балла, этап 3 – в 3 балла (при условии отсутствия иных ошибок), этап 4 не засчитывается.

5 этап – 1 балл. Вывод о свойствах звезд 1 и 2.

6 этап – 2 балла. Вывод о свойствах звезды 3. Указание только компактного объекта в виде нейтронной звезды или черной дыры оценивается в 1 балл. Для второго балла необходим критический анализ вариантов обычных звезд без линии H в спектре.

Примечание: если в результате ошибочных вычислений массы одной компоненты получается значение, меньшее 1.4 массы Солнца, белый карлик в качестве звезды 3 также считается правильным ответом на данном этапе решения. Но это также оценивается 1 баллом, для второго необходим анализ вариантов нормальных звезд. Если же масса одного тела получается еще меньше (например, 0.5-0.6 масс Солнца в соответствии с этапом 2), то участники должны рассмотреть вариант красных карликов и, вообще говоря, прийти к противоречию, так как линии водорода у них также крайне слабые, и становится непонятна природа звезд 1 и 2.