На рисунке изобразим момент, когда «Метеор» видит «Облако» на краю диска Земли. Пусть = 6371 км — радиус Земли, а M и O — радиусы орбит «Метеора» и «Облака» соответственно.

Рис. 4: К определению радиусов орбит спутников.

Из рисунка видно, что радиус орбиты «Облака» равен (2 балла)

$$r_{\rm O} = \frac{R}{\sin\frac{\beta}{2}} \approx 8783 \,\text{km}. \tag{19}$$

Стоит отметить, что угол /2 = 46.5° ≈ 0.8 рад довольно велик и замена синуса этого угла на сам этот угол в радианах неправомочна (замена справедлива, пока угол много меньше радиана) и приводит к значительной ошибке.

Радиус орбиты «Метеора» равен (2 балла)

$$r_{\rm M} = r_{\rm O} \operatorname{tg} \frac{\beta}{2} = \frac{R}{\cos \frac{\beta}{2}} \approx 9255 \,\mathrm{km}. \tag{20}$$

Рис. 5: Положение спутников после половины оборота «Метеора».

Зная радиусы орбит спутников, можем найти отношение их периодов обращения с помощью 3-го закона Кеплера (1+1 балла):

$$\frac{P_{\rm M}}{P_{\rm O}} = \left(\frac{r_{\rm M}}{r_{\rm O}}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 1.082.$$ (21)

Спустя половину оборота «Метеор» окажется в точке своей орбиты противоположной исходной. «Облако» к этому моменту пройдет половину своей орбиты и еще некоторый угол = (M/0 −1)×180° ≈ 15° (1 балл). Мы получили угол «Облако»–центр Земли–«Метеор», а для ответа на первый вопрос нам нужно знать угол «Облако»–«Метеор»–центр Земли. Обозначим его как . Его можно найти с помощью теоремы синусов, если знать расстояние между спутниками . Это расстояние можно найти с помощью теоремы косинусов (2 балла):

$$l = \sqrt{r_{\rm O}^2 + r_{\rm M}^2 - 2r_{\rm O}r_{\rm M}\cos\gamma} \approx 2355\,{\rm km}.$$ (22)

Отсюда (2 балла)

$$\alpha = \arcsin\left(\frac{r_{\rm O}}{l}\sin\gamma\right) \approx 71.2^{\circ}.$$ (23)

Видимый с «Метеора» угловой радиус Земли равен ′/2 = 90° − /2 = 43.5°. Тогда искомый угол между «Облаком» и краем диска Земли (1 балл)

$$\delta = \alpha - \beta'/2 = 27.7^{\circ}. \tag{24}$$

В исходной точке «Облако» останется видимым с «Метеора», пока не обгонит его на угол больший 90°. После каждого витка он опережает «Метеор» на угол 2. Разделив 90° на 2, получаем чуть больше 3. Это означает, что «Метеор» не сможет увидеть «Облако» только после того, как вернется в точку А в четвертый раз (3 балла).

на последний вопрос можно получить немного иначе. Выразим синодический период «Облака» для «Метеора» через периоды обращения этих спутников O и M:

$$S = \frac{P_{\rm M}P_{\rm O}}{P_{\rm M} - P_{\rm O}} = \frac{P_{\rm O}}{P_{\rm M}} \frac{P_{\rm M}}{1 - \frac{P_{\rm O}}{P_{\rm M}}} \approx 12.2P_{\rm M}.$$ (25)

За синодический период «Облако» обгонит «Метеор» на один оборот. Значит, обгон на четверть оборота состоится за четверть синодического периода, то есть 3.1M. Мы снова пришли к тому же выводу.