Перейдем в систему отсчета одной из звезд. Поскольку нас спрашивают про звезду $S_1$ со звезды $S_2$ , то для решения задачи разумно перейти в систему отсчета $S_2$ .

В этой системе отсчета найдем вектор относительной скорости звезды $S_1$ . Для этого к концу вектора $v_1$ приложим вектор $-v_2$ . Длина получившегося вектора равна $v_{\rm OTH}=3\sqrt{2}$ (2 балла), то есть за 10 000 лет звезда преодолела $3\sqrt{2}$ пк. Тогда относительная скорость равна (2+2 балла)

$$v_{\text{OTH}} = \frac{\sqrt{2} \cdot 3 \text{ пк}}{10 \ 000 \text{ лет}} = \frac{\sqrt{2} \cdot 3 \cdot 3.086 \cdot 10^{13} \text{ км}}{10 \ 000 \cdot 3.15 \cdot 10^7 \text{ c}} = 416 \text{ км/c}$$ (26)

Рис. 7: Определение относительной скорости и минимального расстояния

Тем самым мы получили ответ на третий вопрос задачи.

Обратим внимание, что звезда 1 сейчас удаляется от 2. Значит, пролет на минимальном расстоянии был в прошлом (1 балл). Нарисуем штриховой линией путь звезды 1 в нашей системе отсчета. Перпендикуляр к этой штрихованной линии будет являться как раз минимальным расстоянием. Из чертежа видно, что минимальное расстояние составляет min = √ 2 = 1.4 пк (2 балла). А время, когда было это событие, равно (3 балла)

$$\Delta t = \frac{5}{3} \cdot 10\ 000\ \text{лет} \approx 16\ 700\ \text{лет назад}.$$ (27)

Альтернативный вариант решения может быть следующим. Участник может составить уравнение движения каждой из звезд, найти зависимость расстояния от времени и искать время (при помощи производной или иным способом), при котором расстояние становится минимальным.

На этом заканчивается первая часть задачи, и мы переходим к более астрономическому четвертому вопросу. Трансверсальная (часто говорят тангенциальная) скорость звезды может быть вычислена с помощью формулы (1 балл)

$$v_{\tau} = 4.74 \frac{\mu''/\text{год}}{\pi''} \text{ км/c}, \qquad (28)$$

где численный коэффициент 4.74 получается от деления значения одной астрономической единицы на число секунд в году, – собственное движение звезды (или угловая скорость), которое астрономы измеряют в угловых секундах в год.

Сначала рассмотрим момент, когда звезда находилась на минимальном расстоянии. В этом случае относительная скорость равна трансверсальной (1 балл), а лучевая скорость равна

нулю. Расстояние равно минимальному расстоянию $\sqrt{2}$ пк. Подставив значения в формулу (28), получим (1 балл)

$$\mu_{min} = \frac{v_{\tau} \pi''}{4.74} = \frac{v_{\tau}}{4.74 \cdot r \text{ (пк)}} = \frac{416}{4.74 \cdot \sqrt{2}} = 62 \text{ "/год.}$$ (29)

Теперь перейдем к начальному моменту времени. Для этого случая рассмотрим два различных подхода, чтобы показать возможные решения участников.

Вариант 1. В лоб.

Обозначим угол между вектором $\vec{v}_{\text{отн}}$ и лучом зрения как $\gamma$ . Тогда искомая тангенциальная скорость равна $v_{\tau} = v_{\text{отн}} \sin \gamma$ (2 балла). Обозначим положение звезды $S_1$ на минимальном расстоянии от звезды $S_2$ как $S_{1(min)}$ . Треугольник $\Delta S_1 S_2 S_{1(min)}$ прямоугольный, а угол при вершине $S_1$ равен $\gamma$ . Длины обоих катетов этого треугольника мы нашли ранее. Тогда расстояние между звездами — гипотенузу треугольника — можно найти из теоремы Пифагора: $S_1 S_2 = r_0 = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ пк (2 балла). К такому же ответу мы придем, если построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $r_0$ и катетами, проведенными по линиям сетки на рисунке: $r_0 = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}$ . Тогда $\sin \gamma = r_{min}/r_0 = 1/\sqrt{26}$ .

Рис. 8: Определение трансверсальной скорости

Подставим полученные значения в формулу для собственного движения (1 балл):

$$\mu_0 = \frac{v_\tau}{4.74 \cdot r_0} = \frac{v_{\text{отн}} \sin \gamma}{4.74 \cdot r_0} = \frac{416 \text{ км/c}}{4.74 \cdot \sqrt{26} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{416}{4.74 \cdot 26\sqrt{2}} \approx 2.4''/\text{год}. \tag{30}$$

Вариант 2. С использованием прицельного параметра

Минимальное расстояние $r_{min}$ иногда называют прицельным параметром. Как мы уже показали в первом варианте, можно записать:

$$\begin{cases} v_{\tau} = v_{\text{отн}} \sin \gamma \\ r_{\text{min}} = r_0 \sin \gamma \end{cases}$$ (31)

Отсюда, исключая sin , получаем

$$\frac{v_{\tau}}{v_{\text{oth}}} = \frac{r_{\text{min}}}{r_0} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{v_{\tau}}{v_{\text{oth}} \cdot r_0} = \frac{r_{\text{min}}}{r_0^2} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{v_{\tau}}{v_{\text{oth}} \cdot r_0} = \frac{r_{\text{min}}^2}{r_{\text{min}} \cdot r_0^2} \tag{32}$$

Тогда

$$\frac{v_{\tau}}{r_0} = \frac{v_{\text{oth}}}{r_{\text{min}}} \cdot \frac{r_{\text{min}}^2}{r_0^2} \tag{33}$$

Подставляя в формулу (28) и учитывая выражение (29), получим

$$\mu_0 = \frac{v_\tau}{4.74 \cdot r_0} = \mu_{min} \cdot \frac{r_{\min}^2}{r_0^2} = 62 \cdot \frac{2}{52} = 2.4 "/$$ год. (34)