Предполагая, что аппарат отскочит от астероида на небольшую высоту – такую, что изменением величины ускорения свободного падения можно пренебречь, – получаем

$$h = \frac{V^2}{2g} = \frac{3V^2}{8\pi GR\rho} \approx 160 M.$$

Как видим, это порядка 1% радиуса астероида, значит, ускорение свободного падения меняется примерно на 2%. Для нашей оценки вполне приемлемо.

2. (А.В. Засов.) Координаты данной звезды — это координаты Солнца в точке летнего солнцестояния. Следовательно, звезда находится на эклиптике. Плоскость эклиптики не меняется со временем, так что звезда всегда будет на эклиптике.

Точка весеннего равноденствия, от которой отсчитывается $\alpha$ , совершает обход эклиптики за 26000 лет навстречу годовому движению Солнца, то есть $\alpha$ всех звёзд растёт. Поэтому через четверть периода прецессии (6500 лет) звезда будет иметь $\alpha = 6 + 6 = 12$ часов. Точка на эклиптике с таким $\alpha$ – это точка осеннего равноденствия.

$\alpha = 12$ часов, $\delta = 0^\circ$ .

3. (М.Г. Гаврилов.) Для того, чтобы видимая звёздная величина Солнца увеличилась на $\Delta \mathbf{m}$ , необходимо, чтобы световой поток уменьшился в $10^{\Delta m/2,5}$ , следовательно, наблюдателю надо удалиться от Солнца в $(10^{\Delta m/2,5})^{1/2} = 10^{\Delta m/5}$ раз.

По III закону Кеплера квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси её орбиты (в данном случае – радиуса орбиты). Сравнивая нашу гипотетическую орбиту с орбитой Земли, получаем:

$$\left(\frac{T_X}{T_3}\right)^2 = \left(\frac{R_X}{R_3}\right)^3$$ , то есть $T_X = T_3 \cdot \left(\frac{R_X}{R_3}\right)^{3/2}$ ,

Мы как раз только что нашли, что $R_X/R_3$ равно $10^{\Delta m/5}$ , поэтому

$$T_X = T_3 \cdot (10^{\Delta m/5})^{3/2} = T_3 \cdot 10^{3\Delta m/10}$$

Разность звёздных величин Луны и Солнца составляет $\Delta \mathbf{m} = -12,7$ - (-26,8) = 14,1. Получаем ответ: $T_{\mathbf{X}} = 1 \text{ год} \cdot 10^{3\cdot14,1/10} \approx 17000 \text{ лет}.$

URL: http://www.issp.ac.ru/iao/russia/2001/ e-mail: univer@issp.ac.ru г, Троицк, 8–13 апреля 2001 г.

4. (В.Г. Сурдин.)

• 1. Лунный экватор почти совпадает с эклиптикой. Поэтому Солнце всегда восходит практически в точке востока, а заходит в точке запада. Орбита Луны слабо наклонена к эклиптике, поэтому Земля для лунного наблюдателя практически «ходит по эклиптике» и видна наблюдателю северного полушария только над южной частью горизонта, а наблюдателю южного полушария – только над северной его частью. Теперь посмотрим на карту неба. В районе Ориона эклиптика проходит к северу от этого созвездия. Поскольку, глядя на серп Земли, наблюдатель видел, что «под ним горел Орион», значит направление «вверх» означало «на север», т.е. Земля висела над южной частью горизонта. Вывод: герой романа был в северном полушарии Луны и, разумеется, на видимой её стороне.
• 2. Поскольку Солнце освещает Луну и Землю с одного направления, а направления взгляда наблюдателей на Луне и Земле противоположны, ясно, что с их точек зрения фазы Земли и Луны дополняют друг друга до полного круга. Поэтому в момент, когда Земля выглядела как "широкий серп, выгнутый к юго-западу", т.е. была между "новоземелием" и первой четвертью, Луна была между полнолунием и последней четвертью. Если учесть, что серп Земли был широкий, т.е. она была ближе к первой четверти, то Луна была ближе к последней четверти.
• 3. По карте видим, что эклиптика над Орионом проходит в созвездии Тельца и Близнецов; там была Земля. Значит, Луна была в противоположной части эклиптики – в Стрельце или (менее вероятно) Змееносце.
• 4. Солнце было к западу от Земли, на расстоянии от 0 до 90° (очевидно, ближе к 90°). Значит, оно наблюдалось в Овне или Рыбах (более вероятно, что именно в Рыбах). Это бывает с середины марта по середину мая; скорее всего, был конец марта или апрель.