№ 8.16 / 9.16 / 10.16 / 11.16Задача 8.16 / 9.16 / 10.16 / 11.16
3. (М.Г. Гаврилов.) Для того, чтобы видимая звёздная величина Солнца увеличилась на $\Delta \mathbf{m}$ , необходимо, чтобы световой поток уменьшился в $10^{\Delta m/2,5}$ , следовательно, наблюдателю надо удалиться от Солнца в $(10^{\Delta m/2,5})^{1/2} = 10^{\Delta m/5}$ раз.
Решение
По III закону Кеплера квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси её орбиты (в данном случае – радиуса орбиты). Сравнивая нашу гипотетическую орбиту с орбитой Земли, получаем:
$$\left(\frac{T_X}{T_3}\right)^2 = \left(\frac{R_X}{R_3}\right)^3 \text{, то есть } T_X = T_3 \cdot \left(\frac{R_X}{R_3}\right)^{3/2} \text{,}$$
Мы как раз только что нашли, что $R_X/R_3$ равно $10^{\Delta m/5}$ , поэтому
URL: http://www.issp.ac.ru/iao/russia/2001/ e-mail: univer@issp.ac.ru г, Троицк, 8–13 апреля 2001 г.
$$T_X = T_3 \cdot (10^{\Delta m/5})^{3/2} = T_3 \cdot 10^{3\Delta m/10},$$
Разность звёздных величин Луны и Солнца составляет Δm = -12,7 - (-26,8) = 14,1. Получаем ответ: TX = 1 год · 103·14,1/10 ≈ 17000 лет.
Ответ
T_X = 1 год · 10^{3·14,1/10} ≈ 17000 лет.