• 3. По карте видим, что эклиптика над Орионом проходит в созвездии Тельца и Близнецов; там была Земля. Значит, Луна была в противоположной части эклиптики – в Стрельце или (менее вероятно) Змееносце.
• 4. Солнце было к западу от Земли, на расстоянии от 0 до 90° (очевидно, ближе к 90°). Значит, оно наблюдалось в Овне или Рыбах (более вероятно, что именно в Рыбах). Это бывает с середины марта по середину мая; скорее всего, был конец марта или апрель.
• 5. (М.Г. Гаврилов.) Видимый угловой размер «звёзд» должен быть меньше разрешающей способности глаза, то есть линейный размер (диаметр) изображений этих «звёзд» на куполе не превышал бы L0 = α·R, где α – разрешающая способность человеческого глаза в темноте (около 50" ≈ 2,5·10**-4** рад), R – радиус зала планетария. В нашем случае

$$L_0 = \alpha \cdot R \approx 2.5 \cdot 10^{-4} \cdot 5 \text{ M} \approx 1.25 \text{ MM}.$$

Размер изображения одной звезды, получаемого на куполе с помощью оптической системы, определяется двумя параметрами:

а) Первый – чисто геометрический, определяемый оптическим увеличением размера звезды при проецировании её на купол. Если размер звезды на слайде l0 = 0,1 мм, то размер изображения вычисляется по формуле увеличения объектива (линзы): L = Г·l0 = l0·R/r, где r – расстояние от упомянутой дырочки в фольге до проецирующей линзы, по формуле линзы 1/R + 1/r = 1/F. В

URL: http://www.issp.ac.ru/iao/russia/2001/ e-mail: univer@issp.ac.ru г, Троицк, 8–13 апреля 2001 г.

нашем случае увеличение не должно превышать Г0 = L0/l0, откуда находим, что фокусное расстояние системы должно быть не меньше

$$F = R/(\Gamma_0 + 1) = R/(L_0/l_0 + 1) \approx R \cdot l_0/L_0 = R \cdot l_0/(\alpha \cdot R) = l_0/\alpha = 0,1 \text{ mm} / 2,5 \cdot 10^{-4} \approx 40 \text{ cm}.$$

Условие, вообще говоря, вполне выполнимое.

б) Второй параметр – дифракционный, определяемый размером кружка Эйри: угловой размер расхождения пучка от точечного источника (находящегося вблизи фокуса объектива) равен λ/D, где λ – рабочая длина волны (порядка 500 нм или 5·10**-7** м), D – диаметр объектива проецирующей оптической системы (то есть, именно тот диаметр, который нам надо найти). Размер изображения точечного источника на куполе радиуса R при этом составит R·λ/D. Таким образом, необходимо условие

$$R \cdot \lambda/D \le \alpha \cdot R,$$

$$D \ge \lambda/\alpha \approx 5 \cdot 10^{-7} \text{ m} / 2, 5 \cdot 10^{-4} \approx 2 \cdot 10^{-3} \text{ m} = 2 \text{ mm}.$$

Условие тоже вполне выполнимое.

Заметим, что эту величину можно было бы указать сразу: именно ей (диаметром зрачка в условиях дневной освещённости) соответствует разрешающая способность человеческого глаза.

6. (М.Г. Гаврилов.) Будем рассматривать орбиту станции как круговую, при этом радиус её в среднем за сутки составлял R0 + h = 6371 км + 236 км = 6607 км ≈ 6,6·10**6** м (где R0 – радиус Земли, а h – высота орбиты), а изменение этого радиуса за сутки – Δh = -2,5 км ≈ -2,5·10**3** м.

Падение средней высоты орбиты происходит по причине потери станцией энергии из-за трения о верхние слои атмосферы. При этом, чтобы правильно учесть всё происходящее, лучше воспользоваться энергетическим подходом, учитывая полную энергию станции

$$E = \Pi + K = -GMm/(R_0+h) + mV^2/2,$$

а не только кинетическую или потенциальную. (Здесь G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, V – орбитальная скорость движения станции.) Попутно заметим, что скорость станции увеличивается с уменьшением высоты (станция тормозится, а скорость увеличивается!). Из условия движения по круговой орбите

$$GMm/(R_0+h)^2 = mV^2/(R_0+h),$$

откуда

$$GMm/(R_0+h) = mV^2,$$

$$\Pi = -2K,$$

$$E = -K = \Pi/2.$$

Примечание. То, что мы написали, справедливо для величины потенциальной энергии гравитационного взаимодействия, отсчитываемой от бесконечности (тела удалены друг от