• Пусть R и M радиус и масса скопления соответственно, $v_0$ начальная скорость звезды, $\mu$ масса нейтронной звезды. Очевидно, что звезда по мере ее удаления от центра скопления будет тормозиться силой притяжения и терять кинетическую энергию. Изменение кинетической энергии должно быть равно работе, совершенной силой тяготения, A. Рассчитаем эти величины.

Поскольку скопление сферическое, то в любой его точке на звезду будет действовать сила притяжения, направленная к центру и зависящая только от массы, заключенной в сфере радиуса r. Эта масса равна

$$m(r) = \frac{4\pi\rho r^3}{3} = M\left(\frac{r}{R}\right)^3.$$

Эта масса действует так же, как масса, сосредоточенная в центре. Поэтому сила притяжения к центру будет равна

$$F(r) = \frac{Gm(r)\mu}{r^2} = \frac{GM\mu r}{R^3}.$$

Мы видим, что сила линейно растет с расстоянием от нулевого значения в центре до максимального значения на границе скопления:

$$F_M = \frac{GM\mu}{R^2}.$$

Работа силы притяжения на интервале $0 \le r \le R$ по модулю равна площади под графиком силы F(r), то есть площади прямоугольного треугольника, и отрицательна:

$$A = -\frac{F_M R}{2} = -\frac{GM\mu}{2R}.$$

Тот же результат можно получить, используя свойство суммы арифметической прогрессии. Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, получаем:

$$\frac{\mu v_1^2}{2} = \frac{\mu v_0^2}{2} - \frac{GM\mu}{2R}.$$

Исключая массу нейтронной звезды, получаем формулу для скорости нейтронной звезды при вылете из скопления:

$$v_1 = \sqrt{v_0^2 - \frac{GM}{R}}.$$

Значение этой скорости составляет 13.6 км/с. После вылета нейтронной звезды из скопления оно действует как точечная масса. Потенциальная энергия взаимодействия звезды со скоплением в момент вылета составляет

$$E = -\frac{GM\mu}{R}.$$

Подставляя численные данные, мы видим, что по модулю потенциальная энергия более чем вдвое превышает кинетическую энергию звезды в момент вылета из скопления. Следовательно, звезда не сможет улететь за пределы гравитационного влияния скопления, и через некоторое время вернется в него.

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

Калейдоскоп объектов (А.М. Татарников)

900

Значение этой скорости составляет 13.6 км/с.