Первую космическую скорость можно найти из условия движения космического тела по круговой орбите с радиусом, равным радиусу Марса:

$$\frac{V_I^2}{R_{_M}} = \frac{GM}{R_{_M}^2}$$

откуда, выражая массу Марса через его объём и плотность, получаем

$$V_{I}^{2} = G\rho_{M} \frac{4}{3} \pi R_{M}^{3} \frac{1}{R_{M}}$$

$$V_{I} = 2R_{M} \left(\frac{\pi G \rho_{M}}{3}\right)^{1/2} = d_{M} \left(\frac{\pi G \rho_{M}}{3}\right)^{1/2}$$

Вторая космическая скорость в $2^{1/2}$ больше первой, то есть

$$V_{II} = d_{\scriptscriptstyle M} \left( \frac{2\pi G \rho_{\scriptscriptstyle M}}{3} \right)^{1/2}$$

Численные ответы: $V_I = 3,54$ км/с, $V_{II} = 5,0$ км/с. $\blacktriangle$

III Российская Олимпиада школьников по астрономии и космической физике (1995/96 г.) Региональный этап.

$V_I = 3,54$ км/с, $V_{II} = 5,0$ км/с.