• 3. Условие. На земном небе есть 14 звезд ярче 1m, примерно в 3 раза больше звезд с блеском от 1m до 2m, еще в 3 раза больше звезд от 2m до 3m и т.д. Можно ли поверить любителю астрономии, который утверждал, что видел Венеру, сияющую столь же ярко, как все звезды ночного неба, видимые глазом, вместе взятые?
• 3. Решение. Примем, что блеск каждой из 14 звезд ярче 1m составляет 0.5m, и обозначим освещенность от одной такой звезды через J. Освещенность от всех 14 звезд составит 14·J. Примем далее, что блеск всех звезд от 1m до 2m составляет 1.5m. Тогда освещенность от одной такой звезды составит J/2.512, а от всех звезд этого блеска (их всего 14·3) – 14·J·(3/2.512). Учитывая, что глазом видны звезды до 6m и продолжая эту процедуру для звезд 2.5m, 3.5m, 4.5m и 5.5m, получаем значение освещенности от всех звезд, видимых глазом, как суммы геометрической прогрессии:

$$J_0 = J \cdot 14 \cdot \left(1 + \frac{3}{2.512} + \dots + \left(\frac{3}{2.512}\right)^5\right) = J \cdot 14 \cdot \frac{\left(\frac{3}{2.512}\right)^6 - 1}{\frac{3}{2.512} - 1} = J \cdot 137.$$