№ 11.2Задача 11.2
- 2. Условие. Склонение звезды A равно $60^{\circ}$ , а склонение звезды B $-30^{\circ}$ . При съемке на неподвижную камеру с ПЗС-матрицей с длинной экспозицией звезды выглядят в виде черточек. Отсчеты ПЗС-матрицы в черточке, соответствующей звезде A, в два раза больше, чем в черточке звезды B. Как соотносятся звёздные величины этих звезд? Кривизной поля камеры, другими аберрациями и атмосферным поглощением пренебречь.
- 2. Решение. При фиксированной экспозиции t длина черточки, оставленной звездой в кадре ПЗС-камеры с фокусным расстоянием F, пропорциональна угловой скорости этой звезды и составляет
$$l(\delta) = F \omega t \cos \delta$$
Решение
где $\omega$ – угловая скорость суточного вращения неба, а $\delta$ – склонение звезды. Пусть длина следа звезды B равна l, тогда длина следа звезды A равна
$$l\frac{\cos\delta_A}{\cos\delta_B} = \frac{\sqrt{3}}{3}l.$$
Обозначим за $E_{\rm A}$ и $E_{\rm B}$ отсчеты ПЗС-матрицы, пропорциональные количеству квантов, попавших на единичную площадку матрицы от звезд A и B соответственно. По условию, $E_{\rm A} = 2E_{\rm B}$ . Общее количество световой энергии, попавшей на ПЗС-матрицу за все время экспозиции, пропорционально произведению отсчета с единичной площади, $E_{\rm A}$ и B и черточки, $I_{\rm A}$ (ширины черточек будут одинаковы). Сравним эти величины для звезд A и B и запишем формулу Погсона:
$$m_A - m_B = -2.5 \lg \left(\frac{E_A}{E_B} \frac{l \cos \delta_A}{l \cos \delta_B}\right) = -2.5 \lg \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = -0.16$$
То есть, блеск звезд почти одинаков – звезда $\bf A$ ярче звезды $\bf B$ всего на $0.16^{\rm m}$ .
Ответ
$m_A - m_B = -2.5 \