Известные величины: Радиус орбиты Сатурна – 9.539 а.е., радиус Сатурна – 60.25 тыс. км, масса Сатурна – 95.18 масс Земли, радиус орбиты Титана – 1.222 млн км. Орбита Титана лежит в плоскости экватора Сатурна, ее наклонение к плоскости орбиты Сатурна – 25.3°. Все орбиты считать круговыми, сжатие Сатурна и тень от его колец при решении не учитывать, размерами Титана пренебречь (считать затмением погружение центра Титана в тень Сатурна).

3. Решение. Аналогично лунным затмениям на Земле, спутник Сатурна Титан может попадать в тень этой планеты. Однако это происходит не в каждое противостояние Титана Солнцу (при наблюдении с Сатурна), а лишь вблизи одного из узлов орбиты Титана. Так как Титан обращается вокруг Сатурна фактически в плоскости экватора планеты, линия узлов орбиты Титана остается параллельной линии пересечения плоскости орбиты Сатурна и плоскости его экватора. Линия узлов совпадает с направлением на Солнце дважды за орбитальный период Сатурна, то есть один раз в 14.7 лет. Подобная ситуация случилась в настоящее время. В течение нескольких оборотов Титана он будет попадать в тень Сатурна, и нам нужно определить количество этих затмений.

Для начала определим размеры тени Сатурна, в которую может погрузиться Титан, пренебрегая сжатием Сатурна. Эта планета располагается в 9.539 раз дальше от Солнца, чем Земля, и угловой радиус Солнца при наблюдении с Сатурна ρ составляет всего 101″ или 5⋅10–4 радиан. Обозначим радиус орбиты Титана через l. Тогда радиус тени Сатурна на расстоянии Титана составит

$$Rs = R - l \operatorname{tg} \rho = R - \rho l = 59.6 \operatorname{тыс} \kappa M$$

что практически не отличается от радиуса Сатурна R. Построим рисунок в плоскости, перпендикулярной плоскости экватора Сатурна и орбиты Титана и пересекающей плоскость орбиты Сатурна по горизонтальной прямой. Пусть i – наклонение орбиты Титана. Определим величину перемещения Титана от точки узла орбиты A до точки B, удаленной на расстояние Rs от плоскости орбиты Сатурна. В этой точке еще может наступить затмение Титана. Расстояние AB составляет

$$d = R_S / \sin i = 139$$ тыс. км.

Данная величина существенно меньше радиуса орбиты Титана, и с учетом оценочного характера задания мы можем считать, что перемещение Титана от точки A до точки B происходит по прямой линии. Угол, который проходит Титан в своем орбитальном движении за это время, составляет

$$\gamma = d / l = 0.114$$ радиан или 6.5°.

Получается, что затмения Титана может происходить внутри двух дуг орбиты длиной 2γ или 13° каждая, на угловом расстоянии не более 6.5° от одного из узлов. Точка противостояния Титана будет попадать в этот интервал, пока сам Сатурн будет находиться не далее 6.5° от линии равноденствий (линии в плоскости орбиты Сатурна, параллельной плоскости его экватора). Определим, сколько времени Сатурн потратит на преодоление дуги в 2γ своей орбиты:

$$Te = 2\gamma T / 360^\circ = 1.07$$ года.

Здесь T – орбитальный период Сатурна. В течение такого периода будут происходить затмения Титана на каждом его обороте вокруг Сатурна. Орбитальный период Титана можно получить из III закона Кеплера, сравнивая его движение с обращением Луны вокруг Земли:

$$T_0 = 27.32 \text{ cyr} * (1222/384.4)^{3/2} * (95.18)^{-1/2} = 15.9 \text{ cyr}.$$

Синодический период Титана практически не отличается от орбитального. Деля Te на T0, получаем, что на Сатурне в 2009-2010 годах произойдет около 25 затмений Титана подряд.

Примечание. В реальности, число затмений Титана в 2009-2010 годах, с учетом его размеров и полярного сжатия Сатурна, составит 24.

около 25 затмений Титана подряд.