ВСОШ Региональный
2013
9 класс
теоретическая
ID 802
№ 9.3Задача 9.3
- 3. Условие. У некоторой планеты, обращающейся вокруг далекой звезды по круговой орбите, есть спутник, его орбита также круговая. Во время затмений звезды спутником при наблюдении с планеты видимые размеры звезды и спутника совпадают (как у Луны и Солнца на Земле), а когда спутник входит в тень планеты, его угловые размеры совпадают с угловыми размерами тени. Найдите соотношение геометрических размеров планеты и спутника, считая их существенно меньшими их взаимного расстояния, а само расстояние существенно меньшим расстояния до звезды.
- 3. Решение. Изобразим положение планеты и спутника во время затмений центральной звезды и спутника, наблюдаемых с планеты:
Решение
Тень спутника представляет собой конус с углом раствора $\alpha$ , равным угловому диаметру звезды и спутника при наблюдении из центра планеты (размеры планеты считаем существенно меньшими расстояния до спутника). Обозначив радиус спутника через r, а его расстояние от планеты — через L, получаем связывающее их выражение:
$$r = L \alpha / 2$$
Расстояние до звезды существенно больше радиуса орбиты спутника, тень самой планеты представляет собой конус с таким же углом раствора. Из условия равенства размеров тени планеты и спутника получаем
$$R-r=L\alpha/2$$
Отсюда R = 2r, планета вдвое больше своего спутника по радиусу.
Ответ
R = 2r, планета вдвое больше своего спутника по радиусу.
решение
ответ
Предложить правку