ВСОШ Региональный
2014
9 класс
теоретическая
ID 820
№ 9.3Задача 9.3
- 3. Условие. Протопланета движется по параболической траектории вблизи молодой звезды. В точке перицентра она сталкивается с другой протопланетой с такой же массой, движущейся по круговой орбите. Перед ударом скорости обеих тел были сонаправлены, а после удара оба тела слились в одно без потери массы. Найти эксцентриситет орбиты нового тела
- 3. Решение. Скорости первой и второй протопланеты до столкновения были равны первой и второй космической скорости для данного расстояния до центрального тела:
$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}}; \quad v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{r}}.$$
Решение
Скорости одинаковых по массе тел были сонаправлены, и после абсолютно неупругого удара они слились в одно тело. По закону сохранения импульса, скорость нового тела будет равна среднему арифметическому скоростей исходных тел:
$$v = \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2}\right) \sqrt{\frac{GM}{r}}.$$
Орбита нового тела будет эллиптической, а точка слияния – перицентром этой орбиты. Для скорости в перицентре справедливо соотношение:
$$v_{\rm p} = \sqrt{\frac{GM}{r_{\rm p}}(1+e)}.$$
Приравнивая v и $v_p$ , а также r и $r_p$ , получаем:
$$\frac{\sqrt{2}+1}{2} = \sqrt{1+e}.$$
Эксцентриситет орбиты составит:
$$e = \frac{2\sqrt{2} - 1}{4} = 0.46.$$
Ответ
$$e = \frac{2\sqrt{2} - 1}{4} = 0.46.$$
решение
ответ
Предложить правку