№ 10.5 / 11.5Задача 10.5 / 11.5
5. Условие. Вокруг далекой звезды по круговым орбитам обращаются две планеты. У одной из них орбитальный период вдвое больше, а сферическое альбедо — вдвое меньше, чем у другой планеты. При этом средняя температура поверхностей обеих планет одинакова. Найдите сферическое альбедо обеих планет. Тепловые эффекты от недр и атмосфер планет не учитывать.
5. Решение. Обозначим через $a_{1,2}$ и $T_{1,2}$ радиусы орбит и периоды обращения двух планет. В соответствии с III законом Кеплера
$$\frac{a_1}{a_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{2/3} = 2^{2/3}.$$
Решение
Если пренебречь тепловыми эффектами от недр и атмосфер планет, то равенство средних температур обеих планет означает равенство притока энергии от центральной звезды на эти планеты. Запишем данное соотношение:
$$\frac{J_1}{J_2} = \frac{1 - A_1}{a_1^2} \cdot \frac{a_2^2}{1 - A_2} = 1.$$
Здесь учтено, что часть энергии, идущей от звезды, определяемая величиной альбедо $A_{1,2}$ , отражается от планеты и не идет на ее нагрев. Учитывая, что $2A_1$ = $A_2$ , получаем:
$$\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = 2^{4/3} = \frac{1 - A_1}{1 - 2A_1}.$$
В итоге,
$$A_1 = \frac{2^{4/3} - 1}{2^{7/3} - 1} = 0.375;$$ $A_2 = \frac{2^{7/3} - 2}{2^{7/3} - 1} = 0.75.$
Ответ
$A_1 = \frac{2^{4/3} - 1}{2^{7/3} - 1} = 0.375;\ A_2 = \frac{2^{7/3} - 2}{2^{7/3} - 1} = 0.75.$