№ 9.2Задача 9.2
- 2. Условие. Кто совершает один оборот вокруг оси Сатурна быстрее и во сколько раз сам Сатурн или его кольцо? Радиус кольца Сатурна считать равным 112 500 км. (О.С. Угольников)
- 2. Решение. Период осевого вращения Сатурна составляет 10.7 часов. Для того, чтобы определить период вращения кольца, учтем, что оно состоит из отдельных частей, двигающихся вокруг планеты в соответствии с законом всемирного тяготения. Период можно определить непосредственно из этого закона, приравняв угловое ускорение элемента кольца к ускорению силы тяжести:
$$\frac{v^2}{R} = \frac{GM}{R^2}; \quad v = \sqrt{\frac{GM}{R}}.$$
Решение
Здесь R — радиус кольца, M — масса Сатурна, v — орбитальная скорость кольца. Фактически, мы получили выражение для первой космической скорости. Орбитальный период кольца составит:
$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R^{3/2}}{\sqrt{GM}} \,.$$
Последнее уравнение является ни чем иным, как обобщенным III законом Кеплера. Можно применить и его более простую форму, сравнив кольцо с каким-либо спутником Сатурна:
$$T = T_0 \cdot \left(\frac{R}{R_0}\right)^{3/2}.$$
Здесь R0 и T0 – радиус орбиты и период обращения спутника Сатурна (например, Титана). Используя любую из этих формул, мы получаем, что период обращения кольца составляет 10.7 часа, то есть с точностью до 1% периоды осевого вращения Сатурна и его кольца совпадают.
- 2. Система оценивания. Основой решения задачи является определение периода осевого вращения кольца Сатурна. Он может быть вычислен на основе закона всемирного тяготения, простого или обобщенного III закона Кеплера. Каждый из этих подходов считается правильным и при условии верного выполнения оценивается в 6 баллов. В случае неверных численных расчетов, но правильной физической основы, из этих 6 баллов выставляется от 2 до 5, в зависимости от степени неточности. Последние 2 балла ставятся за формулировку ответа. Указание на отличие периодов в пределах 1-2% не считается ошибкой и на оценку не влияет.
Ответ
период обращения кольца составляет 10.7 часа, то есть с точностью до 1% периоды осевого вращения Сатурна и его кольца совпадают.