Если предположить, что Солнце находится на небесном экваторе, то длина дуги l, пройденная им за время захода, выраженная во временной мере, соответствует длительности захода t. Если же Солнце имеет склонение δ, то оно в своем суточном движении перемещается по малому кругу небесной сферы, длина которого относится к длине небесного экватора как cos δ. Тогда длина дуги, пройденная Солнцем за время захода, равна

$$l = t \cos \delta$$

Во время захода Солнце движется под углом α к горизонту. Когда Солнце находится на небесном экваторе, этот угол максимален и равен (90°–|φ|), где φ – широта места. Для звезд, которые касаются горизонта в точках севера или юга такой угол, очевидно, равен нулю. Значит, когда Солнце не находится на небесном экваторе, его угол захода меньше, чем (90° – |φ|). Можно записать неравенство

$$\alpha \leq 90^{\circ} - |\phi|$$

Учитывая, что дело происходит в России, в северном полушарии, знак модуля у широты можно опустить. Равенство будет достигаться, если Солнце располагается на небесном экваторе. Угол α связывает длину пути Солнца во время его захода и угловой радиус Солнца ρ:

$$\rho = \frac{l \sin \alpha}{2}.$$

Отсюда мы получаем:

$$\sin \alpha = \frac{2\rho}{l} = \frac{2\rho}{t\cos\delta} \ge \frac{2\rho}{t}$$

Угол $\alpha$ лежит в интервале от 0 до 90°, его синус – возрастающая функция. Для широты места справедливо неравенство:

$$\varphi \le 90^{\circ} - \alpha \le 90^{\circ} - \arcsin \frac{2\rho}{t} = \arccos \frac{2\rho}{t}$$

Угловой радиус Солнца можно определить, зная размер Солнца R и расстояние до него L (орбита Земли считается круговой):

$$\rho$$ (радиан) = $R/L$ .

Он равен 0.266° или 1.064 мин. Получаем, что широта места наблюдения не превышает 45°, но может быть несколько меньше. На территории России эта параллель проходит только по самым южным районам – Крымскому полуострову, Северному Кавказу и Приморскому краю (с Курильскими островами).

Задание может быть оформлено в терминах равенств, если с самого начала сказать, что самым быстротечным заход Солнца будет в момент равноденствий и дальше рассматривать данный случай.

3. Система оценивания. Для решения задачи участники должны получить величину длины дуги, пройденной Солнцем за заданную длительность захода (1 балл), связь этой длины с угловыми размерами Солнца и углом между суточным путем и горизонтом (2 балла) и связь этого угла с широтой (2 балла). Данные этапы можно выполнять в произвольном порядке как в виде неравенств, так и в виде равенств для случая равноденствий. В последнем случае участники должны указать, что равноденствие соответствует самому быстрому заходу Солнца. Если расчет идет только для момента равноденствий без обоснования того, что в этом случае заход будет самым быстрым, то итоговая оценка уменьшается на 1 балл.

Вычисление широты места оценивается в 2 балла. Последний 1 балл выставляется за указание районов России, где может выполняться условие задачи. Перечисление всех регионов РФ не является обязательным, достаточно указать три географические области – Крым, Северный Кавказ и юг Дальнего Востока. При неполном указании этих областей итоговая оценка не может превышать 7 баллов.