Чтобы решить задачу наиболее простым способом, обратим внимание, что зависимость звездной величины лампы полностью повторяется через 6 лет. Более того, этот период кратен земному году, то есть периоду обращения Земли вокруг Солнца. По истечении 6 лет Земля оказывается в той же точке орбиты, следовательно, астероид также проходит ту же точку своей орбиты. Следовательно, промежуток времени в 6 лет содержит кратное число периодов обращения астероида вокруг Солнца.

Блеск лампы становится максимальным (звездная величина минимальна) в моменты 0, 6 и 12 лет. В это время профиль кривой блеска симметричен относительно максимума. Следовательно, в это же время астероид располагается в точке перигелия орбиты и при этом находится либо в противостоянии, либо в соединении с Солнцем.

Между главными максимумами видно еще по 4 максимума блеска и 5 минимумов между ними. Они вызваны тем, что астероид периодически оказывается в противостоянии с Солнцем, приближаясь к Земле, и в соединении с ним, удаляясь от Земли. Если бы астероид двигался по орбите навстречу Земле (в противоположном направлении), то за 6 лет наблюдалось бы более 6 соединений и противостояний. Наличие 5 минимумов блеска говорит о пяти соединениях за 6-летний период. Следовательно, синодический период астероида S не превышает 1.2 года (в реальности, он точно равен этой величине, как можно убедиться по графику). Учитывая, что астероид находится дальше от Солнца, чем Земля, его орбитальный период T может быть найден по формуле:

$$\frac{1}{S} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}.$$

Здесь T0 – орбитальный период Земли (один год). Период T составляет ровно 6 лет, и астероид движется по орбите в том же направлении, что и Земля. Большая полуось орбиты астероида составляет

$$a = 6^{2/3} = 3.3$$

На графике видно, что в моменты времени 3 года и 9 лет астероид находится в соединении с Солнцем на максимальном удалении от Земли (положение 2 на рисунке). Наша планета в это время занимает то же положение, что и в моменты времени 0, 6 и 12 лет. Значит, в эти моменты астероид находится в положении 1, в противостоянии с Солнцем (по условию задачи, он не заходит внутрь орбиты Земли). Определим по графику звездные величины лампы в эти два момента:

$$m_1 = 16.9$$ ; $m_2 = 20.7$ .

Отношение видимых яркостей лампы в эти моменты:

$$K = 10^{0.4(m_2 - m_1)} = 33$$

Пусть r — радиус орбиты Земли, e — эксцентриситет орбиты астероида. Расстояние от Земли до лампы в моменты 1 и 2 равны:

$$d_1 = a (1 - e) - r;$$

$d_2 = a (1 + e) + r;$

Светимость лампы не зависит от ее положения, поэтому

$$K = \frac{d_2^2}{d_1^2}; \quad d_2 = d_1 \sqrt{K}.$$

Решая эти уравнения относительно e, получаем:

$$e = \frac{\sqrt{K}(a-r) - (a+r)}{a(\sqrt{K}+1)} = 0.4.$$

6. Система оценивания. Для решения задачи участники должны установить, что астероид обращается по своей орбите с периодом в 6 лет и получить из этого величину большой полуоси его орбиты. Данный этап решения оценивается в 3 балла (при раздельном выполнении 2 балла ставится за определение периода 1 балл — за определение большой полуоси). Участники могут сделать это развернутым способом, как приведено выше, а могут сразу оценить синодический период астероида (1.2 года) и вычислить из него орбитальный период, что также считается правильным. Если участник сразу и без обоснования пишет, что орбитальный период астероида составляет 6 лет, то 2 балла за первый этап решения не выставляются, но дальнейшее решение оценивается в полной мере (максимальная оценка — 6 баллов).

Вывод о том, что в моменты времени 0, 6 и 12 лет астероид находится в перигелии и противостоянии, а в моменты времени 3 и 9 лет – в афелии и соединении (сделанный в явном виде либо следующий из рисунка), оценивается в 2 балла. Вычисление эксцентриситета орбиты астероида оценивается в 3 балла.

$e = \frac{\sqrt{K}(a-r) - (a+r)}{a(\sqrt{K}+1)} = 0.4.$