Выражая радиусы орбит в астрономических единицах, массы – в массах Солнца, а период обращения – в годах, запишем выражение обобщенного III закона Кеплера:

$$\frac{(M+m)T^2}{(R+r)^3}=1.$$

Фактически, мы сравниваем эту систему с системой "Солнце-Земля", где все три величины равны единице. Для двойной системы также T=1, а для радиусов орбит справедливо соотношение:

$$MR = m r$$ .

Отсюда r = R (M/m), и далее:

$$\left(1 + \frac{M}{m}\right)^3 = (M + m).$$

Обе величины M и m безразмерны, так как представляют собой отношение масс звезд к массе Солнца. Умножая обе части уравнения на $m^3$ , получаем:

$$(M+m)^3 = m^3 (M+m).$$

Из этого мы можем определить массу звезды M (в массах Солнца):

$$M = m^{3/2} - m = 0.26.$$

Оптическая звезда, вероятно, представляет собой красный карлик и является, по сути, спутником темного массивного объекта.

3. Система оценивания. Для решения задачи участники олимпиады должны сделать вывод о том, что круговая траектория оптической звезды по своим характеристикам идентична орбите Земли. Этот вывод можно сделать в другом виде: смещение равно параллаксу, а параллакс есть угол, под которым виден радиус орбиты Земли, следовательно, радиус орбиты звезды равен 1 а.е. Вывод в любой из форм оценивается в 2 балла. Если он не выписан в явном виде, эти 2 балла не выставляются, но дальнейшее решение оценивается в полной мере.

Правильное использование III закона Кеплера оценивается в 2 балла, при этом его запись может отличаться от приведенной выше (может использоваться полная формулировка с системным выражением всех величин). Правильное соотношение радиусов орбит звезд оценивается еще в 1 балл. Наконец, 3 балла выставляется за правильное математическое исполнение решения и запись ответа.

$M = m^{3/2} - m = 0.26.$ Оптическая звезда, вероятно, представляет собой красный карлик и является, по сути, спутником темного массивного объекта.