№ 10.5Задача 10.5
5. Условие. У звезды $12^{\rm m}$ спектрального класса G2V обнаружили колебания блеска с периодом 10 лет, вызванные прохождением планеты по ее диску – в полосе V глубина составила 1.500% по яркости, а в линии $H\alpha - 1.520\%$ по яркости. Оцените размеры планеты и высоту ее атмосферы, считая атмосферу состоящей из атомарного водорода и непрозрачной в линии $H\alpha$ , а орбиту планеты – круговой, лежащей на луче зрения. Определите максимальное угловое расстояние между планетой и звездой. (А.М. Татарников)
5. Решение. Спектральный класс G2V означает, что звезда по своим свойствам похожа на Солнце. Орбитальный период планеты составляет 10 лет, из чего, по III закону Кеплера, заключаем, что расстояние между планетой и звездой составляет $10^{2/3}$ =4.64 а.е.
Решение
Будем считать, что при прохождении планеты перед диском звезды в полосе V свет звезды блокируется только самой планетой, а в линии $H\alpha$ – еще и ее водородной атмосферой. Обозначив радиусы планеты и звезды как r и R, а высоту атмосферы как h, запишем:
$$\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = 0.0150; \quad \frac{\pi (r+h)^2}{\pi R^2} = 0.0152.$$
Отсюда r=0.1225R=85700 км, r+h=0.1233R=86300 км, h=0.0008R=600 км. Найдем теперь расстояние до звезды, исходя из ее видимого блеска $(12^{\rm m})$ и абсолютной звездной величины $(5^{\rm m})$ :
$$\lg r = \frac{m - M + 5}{5}; \quad r = 250 \ n\kappa.$$
Отрезок в 4.64 а.е. будет виден с такого расстояния под углом (4.64/250) = 0.02". Это и есть максимальная элонгация планеты от звезды при наблюдении с Земли.
5. Система оценивания. Решение задания достаточно четко разбивается на основные этапы, которые можно выполнять в разном порядке:
Определение расстояния между звездой и планетой – 2 балла.
Радиус планеты – 2 балла.
Высота атмосферы на планете – 2 балла.
Максимальная элонгация -2 балла (1 балл - вычисление расстояния до звезды, 1 балл - максимальная элонгация).
Ответ
0.02".