небе Земли от времени. Определите эксцентриситет орбиты, наклон плоскости орбиты к лучу зрения и расстояние до системы. (О.С. Угольников)

6. Решение. Зависимость углового расстояния между двумя звездами имеет очевидный период T около 25 лет. При этом дважды за этот период угловое расстояние между звездами фактически обращается в ноль. Такое может иметь место только в том случае, если луч зрения лежит в плоскости орбиты, и дважды за период обращения звезды проходят друг перед другом. Наклон плоскости орбиты к лучу зрения равен нулю.

Если бы орбиты звезд в системе были круговыми, то эти моменты были бы отделены друг от друга равными промежутками времени, а максимумы между ними были бы одинаковыми. Мы наблюдаем иную картину, то есть орбиты в системе вытянуты.

Будем считать одну из звезд неподвижной, рассматривая движение второй звезды относительно первой. Очевидно, это не меняет форму орбиты. Максимумы углового расстояния разные, но они оба симметричны. Это говорит о том, что они совпадают с прохождением звезды перицентра и апоцентра своей орбиты, и линия апсид лежит в картинной плоскости.

Итак, мы можем сделать вывод, что малые максимумы с угловым расстоянием между звездами $\rho_P=1.0''$ соответствуют перицентру орбиты, а большие максимумы с угловым расстоянием $\rho_A=4.0''$ – апоцентру орбиты. Теперь мы можем определить эксцентриситет:

$$e = \frac{\rho_A - \rho_P}{\rho_A + \rho_P} = 0.6.$$

Большая полуось (среднее расстояние между звездами) видна с Земли под углом $\alpha = (\rho_P + \rho_A)/2 = 2.5"$ . Пространственную величину большой полуоси мы можем определить из III закона Кеплера:

$$A = (T^2M)^{1/3} = 10.8$$ a.e.

Зная, что суммарная масса звезд M равна 2 массам Солнца, получаем расстояние до системы в парсеках:

$$L = (10.8 / 2.5) = 4.3 \text{ nk}.$$

6. Система оценивания. Первый этап задания состоит в выводе о том, что нулевые минимумы углового расстояния соответствуют моментам расположения звезд на одном луче зрения, и наклон плоскости орбит системы к лучу зрения равен нулю (или очень мал). Вывод может быть также сформулирован как перпендикулярность плоскости орбиты и картинной плоскости. Он оценивается в 2 балла и обязателен для дальнейшего решения. Если же минимумы приписываются физическим тесным сближениям звезд, то вне зависимости от полученных результатов оценка не может превышать 2 баллов (за третий этап – см. далее).

Следующий этап заключается в вычислении эксцентриситета орбиты. Это оценивается в 3 балла (1 балл за снятие данных с графика, 1 балл за правильную формулу для эксцентриситета и 1 балл за его вычисление), но только при условии, что перицентр и апоцентр ассоциируются с максимумами на графиках. В противном случае эти 3 балла не выставляются даже при случайном совпадении результата с правильным.

Наконец, последние 3 балла выставляются за нахождения расстояния до системы. Из них 2 балла ставятся за определение пространственной величины большой полуоси системы, и они не зависят от выполнения других этапов задания. Последний балл ставится за нахождение расстояния до системы при условии правильного выполнения всех этапов задания и верного ответа. Если участник не учитывает фактор массы M=2 в III законе Кеплера, третий этап (все три балла) не засчитывается.

$L = (10.8 / 2.5) = 4.3 \text{ nk}$.