Здесь $\varphi$ — широта места. При заходе за горизонт в точке запада Солнце движется под таким же углом $h = 90^{\circ} - |\varphi|$ к горизонту, и продолжительность его захода равна

$$t = \frac{2\rho}{\omega \sin h}.$$

Здесь $\omega$ — угловая скорость видимого суточного вращения Солнца, $\rho$ — его угловой радиус. По условию задачи, для пунктов A и B справедливы соотношения $h_{\rm A}=2h_{\rm B},\ t_{\rm A}=2t_{\rm B}/3.$ Подставим первое из них во второе:

$$\frac{t_A}{t_B} = \frac{\sin h_B}{\sin h_A} = \frac{\sin h_B}{2\sin h_B\cos h_B} = \frac{2}{3}.$$

Отсюда мы имеем $\cos h_{\rm B} = 3/4$ , $h_{\rm B} = 41.4^\circ$ . Из этого мы получаем ответ на задачу:

$$\phi_{\rm A} = \pm (90^{\circ} - 2h_{\rm B}) = \pm 7.2^{\circ};$$

$\phi_{\rm B} = \pm (90^{\circ} - h_{\rm B}) = \pm 48.6^{\circ}.$

1. Система оценивания. Для решения задачи участник должен связать высоту Солнца в верхней кульминации в день весеннего равноденствия и продолжительность его захода в этот день с широтой места или напрямую друг с другом. Эта связь оценивается в 3 балла (по 1 баллу за формулу для высоты в кульминации, формулу для длительности захода и составлении уравнения). Применение свойства синуса двойного угла либо иные способы решения уравнения и вычисление высоты Солнца в пунктах А и В оценивается еще в 3 балла (участники могут не записывать численные значения высот, а сразу переходить к широтам, что не является ошибкой и оценивается полностью).

Правильная запись ответа оценивается еще в 2 балла. Однако эти 2 балла не выставляются, если указаны только точки северного полушария с широтами 7.2° и 48.6°. Если случай южного полушария учитывается, но ответ формулируется в виде двух отдельных пар (+7.2°, +48.6°) и (-7.2°, -48.6°), то из 2 баллов выставляется только 1, так как такой ответ также неполон, точки A и B могут располагаться в разных полушариях. Правильный ответ содержит по два независимых значения широт либо указание четырех возможных пар. Участники могут округлить значения широты до 0.5° и 1°, что не является ошибкой.

$\phi_{\rm A} = \pm (90^{\circ} - 2h_{\rm B}) = \pm 7.2^{\circ};$ $\phi_{\rm B} = \pm (90^{\circ} - h_{\rm B}) = \pm 48.6^{\circ}.$