неподвижной. В этом случае угловая зависимость имела два одинаковых максимума и два одинаковых минимума по ходу орбитального периода, что не соответствует условию.

Рассмотрим теперь случай эллиптических орбит. На картине мы видим острый минимум, а вся зависимость симметрична относительно этого минимума. Такое может быть, если этот минимум соответствует перицентру орбиты звезды. Отсюда мы сразу можем определить орбитальный период системы T, равный 70 годам.

В момент перицентра угловое расстояние между звездами составляет $\rho_P$ =0.4". В апоцентре звезда оказывается через половину периода, и тогда угловое расстояние равно $\rho_A$ =3.75". Неподвижная звезда, перицентр и апоцентр находятся в пространстве на одной прямой, поэтому вне зависимости от ориентации орбиты эти видимые расстояния относятся друг к другу так же, как и пространственные расстояния в перицентре и апоцентре. Отсюда мы получаем эксцентриситет орбиты:

$$e = \frac{\rho_A - \rho_P}{\rho_A + \rho_P} = 0.8.$$

Изобразим на рисунке орбиту звезды и ее проекцию на небесную сферу. Возьмем момент пересечения звездой малой оси эллипса. В этот момент расстояние от этой звезды до оси составляет

$$b = a\sqrt{1 - e^2} = 0.6 a.$$

Рассчитаем, какую часть орбитального периода звезда затрачивает на путь от перицентра до указанного положения. В соответствии со II законом Кеплера, это есть отношение площади, проходимой радиус-вектором (заштрихованной на рисунке) к площади эллипса. Заштрихованную площадь можно найти как разность площадей четверти эллипса и треугольника. Итак, отношение времен есть

$$\frac{t}{T} = \frac{(\pi ab/4) - (aeb/2)}{\pi ab} = \frac{1}{4} - \frac{e}{2\pi} = 0.12; \quad t = 8.6 \text{ nem}.$$

Тот же самый результат можно найти с помощью уравнения Кеплера:

$$E - e \sin E = 2\pi t / T$$

В данном случае эксцентрическая аномалия (угол с вершиной в центре эллипса, образованный направлениями на перицентр и тело) $E=\pi/2$ , что приводит к тому же значению t.

По графику мы определяем угловое расстояние между звездами в этот момент $\rho_B$ =3.45". Из симметрии кривой из условия задания мы можем заключить, что линия узлов орбиты (линия ее пересечения с небесной сферой) также симметрична относительно линии апсид орбиты, то есть совпадает или перпендикулярна ей. Так как величина $\rho_B$ лишь ненамного меньше максимального углового расстояния $\rho_A$ , мы можем сделать вывод, что реализуется второй вариант, изображенный на рисунке справа. Мы можем определить видимые размеры малой полуоси эллипса:

$$\beta = \sqrt{\rho_B^2 - \left(\frac{\rho_A - \rho_P}{2}\right)^2} = 3.0$$ ''.

Если бы орбита лежала в картинной плоскости (на небесной сфере), то большая полуось эллипса составила бы

$$\alpha_0 = \frac{\beta}{\sqrt{1 - e^2}} = 5.0$$ ".

В действительности она равна $\alpha = (\rho_A + \rho_P)/2 = 2.1"$ . Теперь мы можем найти угол наклона орбиты к лучу зрения:

$$i = \arcsin \frac{\alpha}{\alpha_0} = 25^{\circ}$$

Нам остается найти расстояние до системы. Так как орбитальный период T равен 70 годам, а суммарная масса звезд M равна 2 массам Солнца, мы можем найти среднее расстояние между звездами из обобщенного III закона Кеплера в астрономических единицах:

$$A = (T^2 M)^{1/3} = 21.4$$ a.e.

Будь большая полуось перпендикулярна лучу зрения, мы бы видели ее под углом $\alpha_0$ , равным 5". Таким образом, расстояние до системы в парсеках составляет

$$L = (21.4 / 5.0) = 4.3 \text{ nk}.$$

6. Система оценивания. Решение задания состоит из трех базовых этапов: вычисление эксцентриситета орбиты, наклона ее плоскости к лучу зрения и расстояния до системы. Первый из этих этапов выполняется независимо от остальных и оценивается в 2 балла. Допускаются значения от 0.77 до 0.83, вызванные ошибками измерений. Однако если в качестве апоцентрического расстояния соответствующее максимальному угловому расстоянию между звездами (3.8"), то за этап выставляется только 1 балл. При каких-либо других предположениях относительно расположения орбиты и неверных вычислениях экспентриситета за этап выставляется 0 баллов.

Самый объемный и важный этап выполнения задания — вычисление угла наклона орбиты к лучу зрения, этап оценивается в 4 балла. Для его выполнения участники должны понять, что в картинной плоскости находится малая ось эллипса. При иных предположениях относительно расположения за весь этап выставляется 0 баллов. В то же время, сами вычисления можно делать разными способами, а не только описанным выше. В частности, можно определять не малую ось, а фокальный параметр эллипса в пространстве и на небе, хотя этот способ предусматривает более сложное вычисление доли орбитального периода между перицентром и данной точкой.

При выполнении этапа участник может спутать видимый размер малой оси ( $\beta$ ) и угловое расстояние между звездами в этот момент ( $r_B$ ). Такая ошибка приводит к снижению оценки за этап на 3 балла, но остальные этапы при условии их выполнения оцениваются полностью. Допустимая погрешность определения угла наклона составляет 5°. При его вычислении участник может спутать его с дополнением до 90°, величина составляет 65°. Если при этом будет правильно сказано, что вычислен угол между орбитой и картинной плоскостью – оценка не снижается, если этого объяснения нет – оценка снижается на 1 балл.

Третий этап заключается в определении расстояния до двойной звезды. Этот этап состоит из применения III закона Кеплера и сопоставлении видимого размера орбиты с ее видимым размером, каждый из шагов оценивается по 1 баллу. Первый шаг оценивается при

любом выполнении первых двух этапов и определяется только правильностью применения III закона Кеплера. Второй шаг оценивается только при учете правильного расположения орбиты, определенного в первых двух этапах решения. Если участник не учитывает фактор массы M=2 в III законе Кеплера, третий этап (оба балла) не засчитывается.